KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 41. N:0 3. 5 



ergeben diese Gleichungen 



(a;„ — x) cl 7. + (y^ — y) d |i + {z„ — z) cl ■/ == O 



Da nun weiter das Strahlenbiindel ein Normalenbiindel der Wellenfläche darstellt, 

 so gilt iiber das ganze Biindel: 



a.dx + fjdy + 'idz = 0, 

 wonach durch Differentiation der zuerst angefiihrten Gleichung die bekannte Beziehung 



d% = a.dx„ + ^dy^ + 'idz^, 



resultirt, welche fiir a„yQ als unabhängige Variabelen, und wenn die Differential- 

 quotienten der Gleichung der brechenden Fläche in der Form ro = /(.roj/o) nach ge- 

 bräuchlicher Art mit pq ■ ■ ■ bezeichnet werden, die Form 



dv.= {a + m)dx^ + (p + n)dy,, 



annimmt, die mithin ein voUständiges Differential darstellt, d. h. eine iiber die ganze 

 brechende Fläche giltige Beziehung angiebt. 



Die Untersuchung besteht also in Differentiationen und Variationen dieses Dif- 

 ferentials nach den unabhängigen Variabelen bezw. den Parametern. Hierbei sind -p 

 und q durch die Gleichung der brechenden Fläche bekannte Funktionen von a-o^o und 

 in ganz derselben Weise von ÉoTjq, da ja beide Coordinatenpaare Punkte bezeichnen, die 

 auf der brechenden Fläche liegen. Mit Hilfe der schon angewendeten Relation wird 

 d-( durch dci. imd f/p ausgedriickt. Es eriibrigt also nur, a und [3 als Funktionen von 

 iro?/o darzustellen, sowie der Variation dieser Grössen und ihrer Differentialquotienten 

 nach den Parametern t,Q-riQ einen analytischen Ausdruck zu geben. 



Mit Hilfe der Wellenflächengleichung sind die Richtungscosinus der Normale 

 bekannte Funktionen der Coordinaten xy, welche wiederum durch die oben ange- 

 wendeten, mittels Projection der Normale auf die Coordinatenachsen gewonnenen 

 Gleichungen als Funktionen von a-oj^o dargestellt werden. Es ergiebt sich also z. B.: 



mithin 



, da do. dx , Ox , , ^y i . '^V i 



da. da, dx da. dy da. da. dx da. dy 



dx^ dx dXfi dy dXfj dy^ dx dy„ dy dy^ 



wo sämmtliche rechts stehenden partiellen Differentialquotienten bekannt sind. Wie 

 die Richtungscosinus der Normale die Differentialquotienten erster Ordnung der 

 Wellenflächengleichung eincleutig bestimmen und umgekehrt, so ist dasselbe mit den 



Differentialquotienten ir ■ ■ ■ und den Differentialquotienten zweiter Ordnung der 



Flächengleichung u. s. w. der Fall. Die Differentialquotienten der Wellenflächen- 

 gleichung geben aber die analytischen Ausdriicke fiir die am Objektpunkte bekannten, 

 fiir den Bildpunkt gesuchten Eigenschaften der Strahlenvereinigung ab. 



