8 A. GULLSTRAND, DIE REELLE OPTISCHE ABBILDTJNG. 



und mithin da die Flächennormale die Kantlinie beriihrt, wenn das Bogenelement 

 dieser mit dn bezeichnet wird: 



Diirch Differentiation der beiden Gleichungen 



.Ti — .T = pa 1/1— 2/ = f>P 

 ergiebt sicli dann: 



— dx=(jda — dy = pd^j 



öder, wenn der Differentialquotient ~ fiir die Hanptkriimmimgslinie der Wellenfläche 

 mit X bezeichnet wird : 



p d X d y d y X ti x 



vvorin einesteils eine lineare Beziehung zwischen einander zugeliörigen Werten von 

 P und X, anderenteils aber auch die Gleichung fiir die Haiiptnormalschnitte der Wel- 

 lenfläche enthalten ist. Durch Elimination von X erhält man die Gleichmig fiir die 

 Hauptkriimmungen der Wellenfläche: 



[/ p \dx (I yl dx ily Hy dx ' 



welche, wenn H und K wie gewöhnlich Summe und Produkt der Hauptkriimmungen 

 bedeuten, durch die Ausdriicke : 



^H-— ^ r — — -? — — '^ 



dx dy dx ()y dy dx 



clargestellt wird. Die Ubereinstimmung dieser Ausdriicke fiir Hauptkriimmungen und 

 Orientirung der Hauptnormalschnitte mit den bekannten, durch die Differentialquo- 

 tienten der Gleichxmg z = f {x y) dargestellten lässt sich unmittelbar durch Differentia- 

 tion der durch diese Differentialquotienten dargestellten Werte fiir die Richtungs- 

 cosinus der Normale constatiren. Auch die fiir die folgende Untersuchung sehr niitz- 

 liche Beziehung zwischen einander zugeliörigen Werten von p und X känn unschwer 

 unter Beniitzung dieser Differentialquotienten hergeleitet werden. 



Da Krummungshalbmesser und Hauptnormalschnitte der Wellenfläche die Fo- 

 kalabstände und Hauptschnitte des Strahlenbiindels darstellen, so sind hiermit die 



Relationen gegeben, durch welche diese eindeutig die Diff erentialquotienten y^ • ■ • be- 



stimmen und umgekehrt. Sämmtliche Objekt vmd Bild charakterisirenden Grössen 

 höherer Ordnung werden auch durch Differentiation öder Variation dieser allgemein- 

 giltigen Relationen ermittelt werden, wonach in die so erhaltenen Werte die durch 

 das angewendete Coordinatensystem 2^ = ? = P = O bedingten Vereinfachungen einge- 

 fiihrt werden. 



