12 A. GULLSTRAND, DIE REELLE OPTISCHE ABBILDUNG. 



Werden nun fiir den bequemeren Gebrauch der Invarianten zweiter Ordnung 

 folgende Bezeichnungen angewendet 



(IX ■( vy ox dy 



wobei die entwickelte Beziehung zwischen zugehörigen Werten von p und X die Form 



^ = Ä + Ätgö- = T + -Soot {>- 



d a 

 annimmt, indem fiir die erste Haupttangente y X = tg i)- ist, so erhält man, da — y^ 



bezw. — ^- die Normalkriimmung der Wellenfläclie in den Sclinittlinien mit der XZ- 



Oy & 



bezw. rZ-Ebene darstellen, dnrch das EuLER'sche Theorem : 



cos''i> sin-{)- * ^ sin^^ö- cos^^)■ 



n = \ 1 = 1 , 



T, T„ T, T„ 



wonach aus obensteliender Relation zwischen t, und tgf)- resultirt: 



8 = sin i> cos & I , 



welcher Wert bekanntlich die geodätische Torsion längs denselben Schnittlinien 

 darstellt. 



Haben p, ,o„ <i dieselbe Bedeutung fiir die brechende Fläche wié t, -„ 9- fiir die 

 Wellenfläclie des einfallenden Strahlenbiindels, so ergeben sich auf ähnliche Weise 

 dieselben Bezielmngen zwischen jenen Grössen und den Differentialquotienten rst wie 

 zwischen diesen und den Werten RST, so dass 



cos- 6 sin^ fJ 



r = -\ 



P- P» 



ist u. s. w. 



Da nun im angewendeten Coordinatensystem 



dB dfi 



Y = cos i 



d a d a 



d .i: „ d a 



d a d a. 



d fl d [i 



d Xf) d X 



dXf, dx 



''Vu ^y 



<>y^ (>y 



ist, so nehmen die optischen Invarianten die Form 



A [j. cos i {E cos (' — )■) = O 

 A ;j. cos i (*S — s) = O 

 A[j.(T — tcos = 



an, welche nach Einsetzen der Werte i, t,, {)■ p, ,o„ 6 und der entsprechenden t' t' >>' fiir 



das gebrochene Strahlenbiindel in diejenige iibergeht, die Sturm zuerst diesen nach 



ihm bekannten Formeln fiir die Berechnung des gebrochenen Strahlenbiindels 

 gegeben hat. 



