KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAE. BAND 41. N:0 3. 13 



Ist das einfallende Strahlenbilndel und die brechende Fläche bekannt, so erhält 

 man durch diese Formeln die Normalkrummung und die geodätische Torsion in den 

 Schnittlinien der Wellenfläche des gebrochenen Strahlenbiindels mit den Coordinaten- 

 ebenen, aus welchen Werten mittels obenstehender Relationen die Fokalabstände und 

 die Orientation des ersten Hauptschnittes des Strahlenbiindels erhalten werden, wobei 

 folgende Form die bequemste ist : 



tg2» = ^^ i=Ä + Ätgih -^ = T-Stg» 



Die Gleichung A[j.S'^'/. = fiihrt auf ähnliche Weise zu ganz denselben Formeln 

 fiir das gebrochene Hauptstralilenbiindel, indem die Werte <r^. • fiir die beziigliche 

 Wellenfläche dieselbe Bedeutung haben, wie fiir die Wellenfläche des dem centralen 

 Objektpunkte entsprechenden Strahlenbiindels die Werte ,— • , und daher auch 



^^ — = ^ . ' - ist. Die allgemeinen Abbildungsgesetze erster Ordnung sind also aus 



den bekannten Sturm' schen Formeln herzuleiten. 



Die StraJdenvereinigimg. Da es sich nur um Strahlenbiindel handelt, welche 

 Normalenbiindel darstellen, so wird die Art der Strahlenvereinigung durch die allge- 

 meinen Eigenschaften letzterer bestimmt. Es bilden also die Strahlen zwei Scharen 

 von abwickelbaren Flächen, welche einander längs jedem Strahle unter rechten Winkeln 

 schneiden, und deren Tangentialebenen die Hawptschnitte des Strahlenbiindels längs 

 dem fraglichen Strahle darstellen. Die Fokalpunkle sind die Beriihrungspunkte des 

 Strahles mit den Kantlinien der beiden abwickelbaren Flächen, in welchen er ent- 

 halten ist. Sämmtliche Kantlinien der beiden Scharen von abwickelbaren Flächen 

 bilden zusammen je eine katistische Fläche öder Evolutenschale, welche von den 

 abwickelbaren Flächen der anderen Schar beriihrt wird. Die in den Fokalpunkten 

 senkrecht auf dem Strahle stehenden Ebenen sind die Fokalebenen, die in denselben 

 enthaltenen Tangenten der kaustischen Flächen die Fokallinien, wobei also die erste 

 Fokallinie im ersten Fokalpunkt senkrecht auf dem ersten Hauptschnitte steht, mithin 

 im zweiten Hauptschnitte enthalten ist. Schnittpunkte zwischen Strahlen kommen 

 nur in der Nähe der kaustischen Flächen vor, Schnittpunkte zwischen einander 

 unendlich nahe verlaufenden Strahlen nur auf denselben. Die Hauptschnitte reprä- 

 sentiren die Limeslage der Ebenen, in welchen zwei sich schneidende, einander 

 unendlich nahe verlaufende Strahlen enthalten sind, die Fokalpunkte die Limeslage 

 der Schnittpunkte. AUes bekannte Tatsachen, an die jedocli im Gebiete der geome- 

 trischen Optik nicht oft genug erinnert werden känn. 



Denn gar zu oft wird das allgemeine Strahlenbiindel so aufgefasst, als ob sämmt- 

 liche Strahlen approximativ durch die zwei Fokallinien gingen, die daher auch Brenn- 

 linien genannt werden, ohne dass man sich dabei iiber den Grad der Approximation 

 Rechenschaft giebt. Es ist ja wahr, dass bei unendlich kleiner Blende sämmtliche 

 Strahlen durch zwei Einengungen des Strahlenbiindels gehen, deren Breite ein Un- 

 endlichkleines zweiter Ordnung darstellt, während die Länge unendlich klein von der 



