KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 41. N:0 3. 15 



die derselbe Strahl mit zwei durch den dem fraglichen Objektpunkte entsprechenden 

 Hauptstrahl gelegten Ebenen biidet, die Differential quotienten erster Ordnung dieser 

 Funktion gleich NuU, zweitens aber auch die verschiedenen Punkte der Objektlinie 

 durcli dieselbe Beziehung an die einzelnen Punkte der Bildlinie gebunden wären. Es 

 leuchtet aber ein, dass die Erf till ung letzterer Bedingung fiir die Abbildung der Linie 

 irrelevant ist. Die hinreichende und notwendige Bedingung fiir die Ahhildung einer 

 Linie unter vollständiger Strahlenvereinigung erster Ordnung ist mithin, dass in der- 

 jenigen Funktion, welclie den Abstand eines beliebigen gebrochenen Strahles von der 

 Bildlinie als von den Öffnungswinkeln abhängig darstellt, die Differential quotienten 

 erster Ordnung gleich Null sind, öder in der Sprache der Lehre vom Unendlich- 

 kleinen : dass bei unendlich kleiner Blende säramtliclie von der Objektlinie ausgegan- 

 genen Strahlen bis auf unendlich kleine Grössen höherer Ordnung als der ersten durch 

 die Bildlinie gehen. 



Bevor wir nun zur Untersuchung des allgemeinen Vorkommens solcher Ab- 

 bildungen iibergehen, haben wir aber zunächst den speciellen Fall zu untersuchen, 

 wo ein Fokalpunkt des einfallenden Strahlenbiindels auf der brechenden Fläche liegt, 

 und fiir welchen die STURM'schen Formeln nicht giltig sind, da die bei der Herleitung 

 derselben angewendeten Differentiaiquotienten unendlich grosse Werte annehmen. 



Um endliche Werte der Differentialquotienten j:; • • • zu erhalten, miissen wir 



dabei zunächst eine in endlichem Abstande von der brechenden Fläche belegene 

 Wellenfläche des einfallenden Strahlenbiindels in Betracht ziehen, wonach also % nicht 

 gleich Null gesetzt werden känn. Die Differentiation der Gleichungen 



ergiebt dann im Coordinatensystem p = g=p=0, wobei d%^a.ds'Q ist: 



'i^dXf. /I OiyX , da. , 



= \z + :rJd^^ + irJy 



if. \y. dx] dy 



dy] 



Fällt nun einer der Fokalpunkte auf die brechende Fläche, so ist % gleich einem 

 der Kriimmungsradien der Wellenfläche, mithin, wenn fiir die entsprechende Haupt- 

 tangente dy = 'kdx geschrieben wird: 



1 da ^2^ 1 ^|__löp 



X Ox dy 7. dy \dx 



woraus unter Beriicksichtigung der Identität '^^--=f~T resultirt: 



° '^ dy dx 



dx^, == 7. ~| {dy~ Ida-) = — \dy^, . 



Aus der Gleichung (^?o + X'iro = erhellt zunächst, dass \ eine optische Inva- 

 riante darstellt, da dieselbe Rechnung fiir das gebrochene Strahlenbiindel gilt und 

 die Variabelen o-^^Vq beiden Strahlenbiindeln gemeinsam sind, dann aber auch, dass 



