30 A. GULLSTRAND, DIE REELLE OPTISCHE ABBILDUNG. 



varianten zweiter Ordnung darstellt, indem diese der Reihe nach mit den optischen 

 Differentialinvarianten 



' f?t, cot ö- d'q, rfr,, cosfcot 9' 



cos t 



niultiplicirt worden sind. Es ist dalier auch das linke Membrum eine optische In- 

 variante : 



A [j. cos i 



da„ da, cos <> . ,, , , ■ , ,>>! 



'. — TT . -,- ,v \ + sm i> (s — t cos i cot x>)> + 



T„sintf sin-w' { T„ ') 



+ I - -•—„-,, ; -\- 2s cot il- — t cos i cot- y- 1 (Z c, 



\T„s]n''i)- cos i ' 



Die fiir diesen Fall geltende optische Invariante zweiter Ordnung wird mit der 



optischen Invariante — ~ niultiplicirt: 

 ^ cos i ^ 



A ;j. cos i :— r-r . + 2 s cot {)■ — t cos i cot- O-l dt, = O 



\T„sin''t)' cos* / " 



und von letzterer Gleichung substrahirt, wonach der Rest mit der optischen In- 

 variante - ' . niultiplicirt wird, und also die beiden Differentialinvarianten 



cos * 



da„ l \ st cos i 



A da, „ . 



A-^, =0 Au, 



sin ö- 



-da, — -. — jr + 

 \i„ sni & 



z„ cos x)- ' \t„ sin 9' cos ö' sin 9- 



O 



im falle t:, = O die Fokalcoordinaten im gebrochenen Strahlenbiindel bestimmen. Ist 

 liier t^=-oo, so hat man ^—'=0 zu setzen, Avährend ~ das Differential eines Winkels 



''I! '■fr 



darstellt wie auch im allgenieinen Falle der entsprechende Wert, wenn einer der 

 Fokalabstände unendlich gross ist. Bei >> = O öder f) = "^ erliält man die geeignete Form 



der Gleichungen nach Multiplication öder Division mit — ; • 



° ^ cos I 



Fiir den Fall t, = t,, = O hat man fiir beliebige Werte von i> 



di, = di„ = da, cos ^ — da„ sin i} d-ri, = d-q„ = da, sin ä- + da„ cos 9- , 



und die Differentialinvarianten A — ^==0 Ac/r, =0 ergeben die dabei giltigen Be- 



COS I I. o o o 



ziehungen. 



Hiermit ist also fiir alle Fälle bewiesen worden, dass die Differentialquotienten 

 erster Ordnung der Fokalcoordinaten eines beliebigen, dem Strahlenbiindel nicht 

 angehörigen Strahles nur von den das Strahlenbiindel bestimmenden Grössen ab- 

 liängig, dagegen von der Lage der Blende ani centralen Strahl völUg unabliängig 

 sind. So weit man die optische Projection durcli Fokalcoordinaten bestimmt, ist 

 also dieselbe betreffs der Differentialquotienten erster Ordnung von der Blendenlage 

 auf dem centralen Strahle unabhängig. 



