38 A. GULLSTRAND, DIE REELLE OPTISCHE ABBILDUNG. 



riihrenden, fokalen Strahlenfläche, und im anderen Medium kennt man auch den 

 Fokus der konjugirten fokalen Strahlenfläche. Diese konjugirten fokalen Strahlen- 

 flächen mit ihren Fokal punkten werden nun ohne Zusammenhang mit dem Strahlen- 

 biindel behandelt, durch dessen Untersuchung sie kenntlich geworden sind. Zu diesem 

 Zwecke giebt man den beiden Gleichungen, in welche die Fundamentalgleichung zer- 

 fällt, die Form ^i^ladtv = 0, wobei ivw die Öffnungswinkel eines beliebigen, in den 

 fokalen Strahlenflächen verlaufenden Strahles, aa die bezllglichen Fokalcoordinaten 

 eines beliebigen anderen Strahles sind, und die Gleichung flir die Limeslage gilt, wo 

 beide Strahlen im Hauptstrahle zusammenfallen. Flir eine andere Strahlenfläche mit 

 demselben Hauptstrahle sei nun da = 0, mithin auch da =0. Es folgt daraus, dass 

 Strahlenflächen, deren Tangentialebene im einen Fokus senkrecht auf der Tangential- 

 ebene der fokalen Strahlenfläche stehen, öder welche in diesem Fokus einen Fokal- 

 punkt haben, auch im anderen Medium entweder einen Fokalpunkt im Fokus der 

 gebrochenen fokalen Strahlenfläche haben öder daselbst die Tangentialebene dieser 

 Fläche senkrecht schneiden. Dies ist nur ein Ausdruck dafiir, dass man eine Fläche 

 construiren känn, welche die beiden Strahlenflächen als Normalenflächen hat, und 

 wenn es sich nur darum handelt, die Existenz der allgemeinen optischen Abbildung 

 von Linien unter vollständiger Strahlenvereinigung erster Ordnung zu beweisen, so 

 känn man auch, den vimgekehrten Weg befolgend, ohne mathematische Deduktionen 

 direkt aus dem MALUs'schen Satz aus der Bedingung da=^0 zum Resultate da =0 

 kommen. 



Wenn zwei verschiedene windschiefe Strahlenflächen im einen Fokalpunkt die 

 Normalebene der fokalen Strahlenfläche zur gemeinsamen Tangentialebene haben, so 

 ist die Bedingung dafiir, dass eine Fläche construirt werden könne, welche sämmt- 

 liche Strahlenflächen als Normalenflächen habe, gleichbedeutend mit der Bedingung, 

 dass die drei Strahlenflächen irgendwo — in der anderen Fokallinie des zu constru- 

 irenden Normalenbiindels — die Tangentialebene gemeinsam haben. Wenn dies im 

 einen Medium der Fall ist, so besteht also auch im anderen dieselbe Beziehung. In 

 dem die drei Strahlenflächen enthaltenden Normalenbiindel ist, wie bei der Unter- 

 suchung der fokalen Projection bewiesen wurde, der zweite fokale Öffnungswinkel im 

 gebrochenen Strahlenbiindel nur vom zweiten fokalen Öffnungswinkel im einfallenden 

 abhängig. Es folgt daraus, dass in den Fokalpunkten der konjugirten fokalen Strahlen- 

 flächen das Verhältnis der Linien elemente der orthogonalen Trajectorien vor und nach 

 der Brechung flir die beiden windschiefen Strahlenflächen dasselbe ist. 



Die Beziehungen der konjugirten fokalen Strahlenflächen zu Strahlenflächen, 

 deren Tangentialebene in den Fokalpunkten einen endlichen Winkel mit der Normal- 

 ebene derselben bilden, erhält man am bequemsten, indem man die Strahlen dieser 

 Flächen auf die Tangentialebenen jener projicirt. Die so projicirten Strahlen haben 

 dann einen Fokalpunkt in dem Punkte, wo die Tangentialebene der Strahlenfläche 

 senkrecht auf der Projectionsebene steht, wenn nicht die Strahlenfläche, deren Strahlen 

 projicirt werden, eine fokale ist, wobei der Fokalpunkt offenbar nach der Projection 



da' 

 unverändert bleibt. Die Gleichung NC t- = 1 ergiebt unmittelbar, dass das Verhältnis 



