44 A. GULLSTRAND, DIB REELLE OFTISCHE ABBILDUNG. 



Die schon deducirten allgemeinen, das Strahlenbundel als ein Normalenbiindel charak- 

 terisirenden Beziehungen 



dy ox ' \ox dy^ 



ergeben nach Differentiation : 



' c/a^r/y ' öyylx dy) <^Xody„ 



Hy- ' c/a^r/y ' " öy\(lx äyf <^Xody„ öyl ' 7 (/o;,, ' 



durch welche Gleichungen die Identität der beiden auf den angegebenen Wegen fiir 

 -T7-T, erhaltenen Werte constatirt wird. 



Die beiden Gleichungen .r,j — .r = -/. a , ^/u — 2/ = "''• P ^ ans denen schon (Z.r = 7-^X0 , 

 dy = dy,-) erhalten wurde, ergeben nach zweimaliger Differentiation : 



— d'^x==o.d'-'v. + 2dadv. — d''y =2d[-idy. , 



indem XqI/o unabhängige Variabelen sind, und fiir die Untersiichung der durch den 

 Incidenzpunkt gehenden Wellenfläche 7-= O gesetzt wird. Unter Anwendung der 

 optischen Invarianten erster und zweiter Ordnung 



d% = adx„ d-v. = Jy'^ ^ + 7 r| dx^ + (^ + T t) dyl 



erhält man aus den Gleichungen 



dx^ dy- -^ dx ^ dxdy -^ dy ^ 



die Beziehungen 



dxf, dx^ \Oxl dx dyl dy^ 'dx\dy 



d'? ,, 0'^ Id^ 



= T-^r-t — '^- 



dxgdijo dxdy '\dy 



In der Gleichung der brechenden Fläche sind zwei der Differentialquotienten 

 dritter Ordnung gleich NuU, weil die XZ-Ebene eine Symmetrieebene darstellt. 

 Werden die beiden iibrigen auf folgende Weise bezeichnet : 



dxl (Ix^dyl 



SO erhält man aus den durch zweimalige Differentiation der optischen Invarianten 

 erster Ordnung zunächst sich ergebenden Gleichungen 



^\i.{d-a. + 7c?-'/j + 2d2jd'() =- O ^<J■{d'■'^J + -jd-q + 2d-(dq) = O 



