KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 41. N:0 3. 45 



unter Anwendung der eben deducirten Werte und nach Einsetzen von 



d'i == da dp = rdxQ dq = tdy^ d^p = Udxl + Wdyl d'-'q=- 2Wdxodyo 



T 



die drei Invariantengleichimgen : 



. ( jPa ' dal ,^?a \ „ 



A f ., ö^S /ÖS\ä da „J ,, 



^l>-\'- äxdy-'' [dy) -'■''% + ''^\-^ 



von welchen die beiden letzteren identisch sind. 



Durch diese Gleichungen erhält man die Differentialquotienten dritter Ordnung 

 in der Gleichung der Wellenfläche des gebrochenen Strahlenbiindels aus den ent- 

 sprechenden, das einfallende Strahlenbiindel charakterisirenden Grössen, und es er- 



iibrigt nur die Differentialquotienten yi ■ • ■ durch Grössen auszudriicken, deren Be- 



deutung fiir das Strahlenbiindel bekannt ist. Die allgemeingiltigen Beziehungen 



T, dx dy T„ Öy dy 



ergeben fiir X = tt^ = O , wenn das Bogenelement der in der Symmetrieebene liegenden 

 Hauptkriimmungslinie der Wellenfläche mit ds, bezeichnet wird, wobei dx = 'ids, ist: 



ds, T, dx^ ds, T„ dxdy ' 



Diese Ableitungen der Hauptkriimmungen einer Fläche nach den Bogenlängen 

 der Hauptkriimmungslinien charakterisiren sowohl dieselbe als das Normalenbtindel 

 vollständig. Im allgemeinen Falle giebt es vier solche Werte, aber wo eine Symmetrie- 

 ebene vorhanden ist, sind die zwei anderen gleich NuU. Fiir die vollständige Diskussion 

 der Bedeutung dieser Werte verweise ich teils auf die schon citirte Abhandlung, teils 

 auf eine friihere ausflihrliche Arbeit' und eine kurzgefasste Darstellung derselben 

 unter Anwendung der einfachsten mathematischen Mittel,^ indem ich mich hier darauf 

 beschränke, die Tatsachen anzufiihren. 



Allgemein sind in der Flächengleichung z--^f{xy) und im Coordinatensysteme 

 p == g = 6' = O die Differentialquotienten dritter Ordnung identisch mit den Ableitungen 

 der Hauptkriimmungen nach den Bogenlängen der Kriimmungslinien, und die oben 

 eingefiihrten Werte U W haben, wenn D, D„ die Hauptkriimmungen, s, die Bogen- 



1 AUgeineine Theorie der monoehromatischeu Aberrationen und ihre nächsten Ergebuisse fiir die 

 Ophthalmologie. Nova Aeta Reg. Soo. Se. Ups. Ser. III, 1900. Separat ira Buchhandel zugänglich. 

 ^ tJber Astigraatismus, Coma und Aberration. Annalen d. Physik. 4. Folge, Bd 18, 1905. 



