52 A. GULLSTRAND, DIE REELLE OPTISCHE ABBILDUNG. 



(la.- fJ{i 



giebt nach Multiplication bezw. Division mit Ä und Variation fiir t- = ^^^0 und 



° ^ ■ dy ()x 



X, = U bezw. ^—0: 



s^p 



1 



c 57] 



Sf7a 



4- 



l\ 5 1 



d-qfix 



d-qdy 



sl§-/)X„ 



Anderseits ergiebt die allgemeine Beziehung im Normalenbiindel 



(>y (Ix, \éx dy] 



nach Variation 



hda. 



d-fjdx o TI \t ?' 



o -q dy d-qdx ' otj 



was in Uebereinstimmung mit der oben liergeleiteten Beziehung 



K, 



steht. Man erhält also : 



8dp cos (p, T 11 1\ Il 1 



d-qdx cos i p» \t r^/ \i: ? 



Lpr cos 'f „ cos i \ ? 5'/ 5'COS2j\T cl 



Im Coordinatensystem ^^ = g = [i = O sind nur diejenigen dm'ch successive Dif- 



ferentiationen und Variationen erhaltenen Ableitungen von v. von Null verschieden, 



fiir welche die Summe der Ordnungszahlen der partiellen Ableitungen nach y und tj 



eine gerade Zalil ist, wonach mithin von den dnrch zweimalige Difterentiation und 



dd-v. od^-K od-7. 

 ig,.} variation eriiaiTf'"'^" w orren nnr 



sind. Anderseits hat man 



nachherige Variation erhaltenen Werten nur ;. . .. ., ;, ^ ^ tti^> von Null verschieden 

 ° b^dx-' o-qdxoy oidy^ 



8dix Zda ?jd''A SdR . 

 — ^ — ' '=0. 



d-qdx Sidy Sidx dr^dy 



wonach also nur diejenigen x4.bleitungen, deren geometrische Bedeutung eben eruirt 

 worden ist, von Null verschieden sind. 



Die beiden Gleichungen r,, — .c = /.a, ?/„ — //=- xji ergeben nach Ditferentiation und 

 nachfolgender Variation fiir % = O : 



— Sdx = 'y.od-i'. + d-Ada + da.dv. — ddy = d7.d[-i + o^dy. 



Unter Anwendung der optischen Invarianten erster und zweiter Ordnung 



d-x. == n.dx„ ox = aSJ,, Sf/x =- y^i + T'' d%„dxn + L— + T< dq,,dyo 



erhält man aus den Gleichungen 



