KtTNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 41. N:0 3. 55 



entsprechenden Objektstrahlenbiindels liegen. Fiir die Benutzung der Gleichung hat 

 man bei der Variation die Parameter i„ Tj,, als von den Coordinaten £„ Y(„ abliängig 

 darzustellen — was mittels der Normalengleichungen der Hauptstrahlenwellenfläche 

 erreicht wird — wonach von diesen Coordinaten die eine öder andere als unabhängige 

 Variabele gewählt wird. 



Es ist vielleicht angezeigt, den Vorgangsmodus zunächst an dem schon unter- 

 suchten allgemeinen Fall zu demonstriren. Man erhält: 



^ö^ 



fix dy! ' 

 woraus fiir die v- bezw. v-Linie erfolgt: 



/5L5-1„, = 





Durch Variation erhält man dann, je nachdem der eine öder andere dieser Werte 

 eingesetzt wird 



rn-qnxoyj, ' \(lx (>yi 



woraus einesteils die Kriimmung der ?/-Linie in tJbereinstimmung mit dem schon 

 deducirten Werte gefunden wird, anderenteils fiir die in der Symmetrieebene ver- 

 laufende ^'-Linie in Ubereinstimmnng hiermit die Kriimmung Null resultirt. 



Fiir die singulären Punkte der Bildlinien kommt mm eine Methode zur Ver- 

 wendung, die derjenigen vollkommen analog ist, mit welcher ich in den schon citirten 

 Arbeiten die Kreispunkte der Fläcken untersucht habe, und auf welche ich fiir nähere 

 Details verweise. 



Die Begriffe der u- und 7;-Linien werden hierbei so definirt, dass die Bild- 

 linien, welche die Symmetrieebene senkrecht schneiden, it-Linien genannt werden, 

 wobei die Frage zunächst offen gelassen wird, ob dieselben auf beiden Seiten des 

 singulären Pimktes auf einer und derselben Bildfläche liegen, mithin einem und dem- 

 selben System angehören öder nicht. Auf dieselbe Weise ist die in der Symmetrie- 

 ebene liegende Bildlinie eine v-Linie, sie mag nun die Schnittlinie dieser Ebene mit 

 einer der Bildflächen darstellen öder aus zwei solchen Schnittlinien bestehen, welche 

 einander im singulären Punkte treffen und dort die Tangente gemeinsam haben. 



Was demnächst die Orientirung der Bildlinien betrifft, so verhält es sich zwar so, 

 dass der singuläre Punkt ein wirklicher unter vollständiger Strahlenvereinigung erster 

 Ordnung zustandegekommener Bildpunkt ist, aber hieraus folgt ebenso wenig, dass 

 Bildlinien von allén Seiten her in denselben einstrahlen soUten, wie das analoge Ver- 

 halten der Kriimmungslinien in den Kreispnnkten der Fläcken aus dem Umstande 

 folgen soUte, dass die allgemeine Gleichung der Haupttangenten unbestimmte Werte 

 ergiebt. In beiden Fallen ergeben sich die in die singulären Punkte eintretenden 



Linien durch Ableitung der allgemeinen Gleichung. Man erhält fiir .7 '— -.- = w =« = 



nach Variation: 



