56 A. GULLSTRAND, DIE REELLE OPTISCHE ABBILDUNG. 



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wonach ausser der in der Symmetrieebene liegenden noch zwei Bildlinien vorhanden 

 sind, wenn die Wurzeln der quadratischen Gleichnng reell sind. Die Projectionen der 

 Tangenten dieser Bildlinien auf die X F-Ebene bilden dann mit der Symmetrieebene 



die Winkel arctg^" vmd, wenn die Winkel, welche die auf der Tangentialebene der 



Bildflächen verlaufenden Bildlinien mit der Symmetrieebene bilden, mit w,, bezeichnet 



werden, wobei tgco„ =cos('f„ + ?") ^" ist, so findet man nach Einsetzen der Werte 



von (W^jT^sT^ imd unter Beachtung, dass v— ^ == V" ^i— f- ist: 



5§ OY] bi(lxot.oy °' ryqdy ri-qdx 



M^ ^ ^ l/l + /i — i| tgy,'— tgy„ 

 30S®„ ' \x al -cHcosi 



COS'f„ ' \ 



wo H fiir ^^-4- gesetzt worden ist. und der Wert dieser Ableitung ans der betreffen- 



Sti(>x '^ " 



den Invariantengleichung fiir die letzte Brechimg erhalten wird. Es ist hier 'f, der 

 Winkel, den die von den ?(-Linien senkreclit geschnittene, in der Symmetrieebene 

 liegende Linie, 'f„ der Winkel, den die in der Symmetrieebene liegende w-Linie mit 

 der Pokalebene des centralen Strahles biidet, und man hat w„ ■;„ durch oj, c, bezw. 

 to„ 'f„ zu ersetzen, je nachdem die fragliche Bildlinie auf der die Symmetrieebene 

 längs diesen Linien schneidenden u - bezw. v - Ebene liegt. Diese so definirten Ebenen 

 treten im singulären Punkt an der Stelle der Tangentialebenen der Bildflächen, imd 

 es bleibt also bis auf weiteres unausgesprochen, ob eine durch die eben deducirte 

 Gleichung bestiramte Bildlinie zu beiden Seiten des singulären Punktes auf einer und 

 derselben Ebene verläuft öder nicht. Im letzteren Falle haben immerhin, wie aus 

 der Gleichung hervorgeht, die Projectionen der beiden Teile der Bildlinie auf die 

 Fokalebene des centralen Strahles im singulären Punkte die Tangente gemeinsam. 



Um iiber das Verhalten der Bildflächen Aufschluss zu gewinnen, ist es zunächst 

 notwendig zu untersiichen, in welchen Fallen der singuläre Punkt auf einer aus 

 lauter solchen Punkten bestehenden Linie, einer singulären Linie liegen känn. Da 

 längs einer solchen Linie eine voUständige Strahlenvereinigung erster Ordnung statt- 

 findet, muss dieselbe eine Bildlinie sein, und die notwendige Bedingung ist mithin, 

 dass fiir eine der Wurzeln der Gleichung der Bildlinien dz^dc ist. Hinreichend ist 

 diese Bedingung nicht, denn es ist offenbar erforderlieh, dass längs der ganzen sin- 

 gulären Linie r/T=f/? sein muss, aber dariiber können die Gesetze zweiter Oi"dnung 

 keinen Aufschluss geben. 



In der Gleichung 



hat man zunächst 



Q z OX II y dy 



'Bi érj„ Si åin 



