kUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 41. N:0 3. 5^ 



zu setzen, wonach sich durch Variation ergiebt 



Da die Wurzeln dieser Gleichung die Gleichung der Bildlinien satisficiren 

 miissen, so geht es aus derselben hervor, dass nur dann eine singuläre Linie in der 



Symmetrieebene liegen känn, wenn Trrf- = ^^tj i^t, wobei die Schnittlinien der beiden 



Bildflächen mit der Symmetrieebene einander beriihren, dass eine auf der Symmetrie- 

 ebene senkrecht stehende singuläre Linie nur dann vorhanden sein känn, wenn 



KAr- = ist, und die beiden Bildflächen einander längs der Schnittlinien mit der 



S-qdx ^ 



Symmetrieebene nicht beriihren, sowie dass zwei, einen endlichen Winkel mit der 

 Symmetrieebene bildende singuläre Linien nur in einem ganz speciellen Sonderfalle 

 denkbar wären. 



Von diesem Sonderfalle abgesehen känn mithin, wenn 'f , — 'f „ S O i/ 5 O ist, keine 

 singuläre Linie vom untersucliten singulären Punkte ausgehen. Da die beiden Bild- 

 flächen einander nur in den singulären Punkten beriihren öder schneiden können, so 

 folgt hieraus, dass im allgemeinen Falle nur ein Beriihrvmgspunkt zwischen den 

 beiden Bildflächen vorhanden ist, indem dieselben jede auf einer anderen Seite der 

 Fokalebene belegen sind, und dass somit die m- Linien, welche auf der Seite zu- 

 nehmender x die Symmetrieebene schneiden, nicht auf derselben Fläche belegen sind, 

 mithin auch nicht demselben System angehören wie die auf der Seite abnehmender x 

 die Symmetrieebene schneidenden «- Linien. Auf dieselbe Weise verläuft die in der 

 Symmetrieebene liegende v -Linie auf jeder Seite des singulären Punktes auf einer 

 anderen Fläche. 



Um den Verlaufstypus der Bildlinien in der Umgebung des singulären Punktes 

 zu eruiren, sei die oben fiir den allgemeinen Fall deducirte, die Kriimmung der 

 tt - Linie bestimmende Gleichung 



d-qdx^i] 



, \(lx oyj 



auf folgende Weise geschrieben 



cost \x qj \(/x dy; 



Fiir die Kriimmung der dem singulären Punkte nächstliegenden, die Symmetrieebene 

 schneidenden u - Linien in den Schnittpunkten mit dieser Ebene erhält man durch 

 Variation, indem t die Bogenlänge der Schnittlinie der m- Ebene mit der Symmetrie- 

 ebene, mithin os, = cos (s, + 't)^^ ist: 



„. Tcosrpyi l\ndrj. Sr?[5\oe , , ... 



'^ cost V '^ qJ\oi()j' oidyjot,, 



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