58 A. GULLSTRAND, DIÉ RÉÉLLE OPTISCHE ABBILDUNG. 



lind nach Einsetzen der beziiglichen Werte : 



5p« ^ cos^g,(tgy, — tgc„) n __ 1 \ 

 Sa xHcosi \z q)' 



Die Werte 'fif„~ charakterisiren den singul aren Punkt vollständig hinsichtlich 



der Gesetze zweiter Ordnnng. Der qnadratischen Gleichung fiir die Orientirung der 

 im singiilären Punkte die Symmetrieebene unter endlichem Winkel schneidenden Bild- 

 linien känn nnn folgende Form gegeben werden: 



coscc,. ' cos-s, §a 



öder, wenn die Bildlinien auf die im singulären Punkte errichtete Fokalebene projicirt 

 werden, und dabei w rj s dieselbe Bedeutung fiir die Projectionen haben wie to„ ,o„ t fiir 

 die auf der u- bezw. v-Ebene verlaufenden Bikllinien 



indem fiir die projicirten Linien dieselben Werte gelten wie fiir die auf der Fokal- 

 ebene abgebildeten Linien, mitliin b, = 'f„ = zu setzen ist. Da hierbei f/f>„ = fZp„ 



wird, so gilt -J^ anch fiir die orthogonalen Trajectorien der /'-Linien. 



Cl s 



Da das Vorzeichen von t angiebt, ob die dem singulären Punkte näclist- 



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liegenden, die Sj^mmetrieebene schneidenden ?f- Linien ihre konvexe öder konkave 



Seite demselben zukehren, luid das Vorzeiclien des Produktes -,— j ^ + l ) darliber ent- 



as\ds / 



scheidet, ob sicli nächstliegende v -Linien der in der Symmetrieebene verlaufenden 

 beim Eintritt in den singulären Punkt anschmiegen öder nicht, so ergiebt sich nun- 

 mehr folgendes iiber den Verlauf der Bildlmien in der Umgebung der singulären Punkte. 

 (S. Fig. 1, wo die auf der einen Bildfläche verlaufenden Bildlinien fiir die verschie- 

 denen Fälle skizzirt sind.) 



Bei -p < — 1 geht nur eine Bildlinie durch den singulären Punkt, in welchem 



Ct o 



dieselbe, in der Symmetrieebene liegend, von der einen Bildfläche auf die andere 

 iibergeht. Die nächstliegenden Bildlinien haben den umbiegenden Vei'laufstypus imd 

 stellen auf der einen Seite des singulären Punktes t(- Linien, auf der anderen y-Linien 

 dar. S. Nr. 1. 



Bei — 1<~<0 gehen drei Bildlinien unter endlicher Kriimmung durch den 



ct s 



singulären Punkt, wobei fiir sämmtliche der Ubergang von der einen Bildfläche auf 

 die andere stattfindet. Die Projektionen der beiden Zweige einer dieser Linien auf 

 die Fokalebene haben im singulären Punkte eine und dieselbe Tangente, welche 



einen Winkel <- mit der Svmmetrieebene biidet. Die nächstliegenden Bildlinien 



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