60 A. GULLSTRAND, DIE REELLE OPTISCHE ABBILDUNG. 



dieselbe beiden Bildflächen gemeinsam ist, und die auf einer der Bildflächen ver- 



laufenden Bildlinien iin Schnittpunkte mit derselben rechtwinkelig umbiegen. S. Nr. 6. 



Endlich bilden die Fälle H = den Ubergang zwischen den Typen 1 und 3, 



indem dabei -,- einen unendlichen negativen bezw. positiven Wert annimmt. Es 



känn hierbei eine die Symmetrieebene senkrecht schneidende Bildlinie mit endlicher 

 Kriimmung diirch den singiilären Punkt gehen, welche eventuell auch eine singuläre 

 Linie sein känn. Die nähere Analyse dieser Fälle sowie der erwähnten Sonderfälle, 

 wo längs den die Symmetrieebene im singulären Punkt schneidenden Bildlinien 

 (h — ch = ist, diirf te hier nicht am Platze sein. 



Hinzufiigen möchte ich niir, dass nicht nur das Vorzeichen sondern auch die 



Grösse des Wertes —^ im speciellen Falle dazu geeignet ist, iiber den Verlauf der 



Bildlinien Aufschluss zu geben, da unter Anwendung desselben die Kriimmungs- 

 radien der nächstliegenden ?/-Linien und die Tangenten der nächstliegenden v - Linien 

 annäherungsweise berechnet werden können. 



rf) '^ 



Hiermit ist also die Bedeutung des Wertes ^r-y- fiir den Fall, dass das Strahlen- 

 biindel anastigmatisch ist, klargelegt. 



Denniächst sind die ■singulären Fälle zu untersuchen, wo die ermittelten optischen 

 Invarianten der Neigung der Bildflächen und der Kriimmung bezw. des Verlaufstypus 

 der Bildlinien nicht anwendbar sind. Ist das Strahlenbiindel astigmatisch, so erhält 

 man die beziiglichen Ersatzformeln auf dieselbe einfache Weise wie fiir die Asym- 

 metrienwerte und zwar a,m bequemsten durch entsprechende Multiplikationen mit 



den optischen Invarianten zweiter Ordnung in der Limesform A ^ = O bezw. 



^ '^ [J.COS"t 



A - = O und die analogen Gleichungen fiir jj und q. So f indet man fiir t = O : 



fiir ? = U: 

 fiir 2J = O 

 und fiir g = O 



. 1 , ., . ■^ . / • "^ /I 1\ smi\ 

 A- (cositgK,, + siiii) = Al cosicos-x;, — I I -\ 1=0 



AJ^^^-sinif-' ^\\^0 a('^^ + '^) = 



I 1 \t: p,cos«/J \?cosi p,, / 



. / • '^ /I 1\ sin«\ 



A i cos i oos te, — I I -i 1 = 0. 



