8G A. GULLSTKAND, DIJi; REELLE 01'TISCHK ABBILDUNCi. 



biindels, 'p^f., diejenigen des Hauptstrahlenbiindels, ,0, .o^ die Hauptkruminungsradien 

 der breclienden FLäche darstellen. Unter Anwendung dieser Werte erhält man nach 

 den bezLigliclien Einsetzungen : 





Jhc'~lhd' ^ I 7- — - I + ' 



Säoöa-''- Sé^.r^ «iVr>i ?Ji/ Äi^-iiVh 5i/ 

 S£o r^a;,, /^?/= ~ B^dy- s, -/jj Vp, s.J s: pi 



^(^-ox s\\[j., p.J P'A'x 



di,,or,Jlx„(ly,, oio-qily Si2'iVp3 pJ s.,p,[j 



o-iP'/. 0-<)a 



dril<lxl~ d 



Durcli Vertauschen von xi^. s^p^rj^ mit ^''^lii <?2 2J2h erhält man acht weitere 

 Gleichungen, iind durcli Einsetzen von pi^^j anstått SiS.^ in den zwei ersten Gleichungen 

 und der durch Per mutation aus der ersten erhaltenen gewinnt man schliesslicli die 

 tiir die Strahlenvereinigung im Hauptstrahlenbiindel giltigen optisclien Invarianten. 

 Von den 16 iibrigen Gleichungen fallen jedoch vier weg, indem die Ableitvmgen 



durch je zwei Gleichungen bestimmt werden. Die aus diesen vier Gleichungspaaren 

 resultirenden Beziehungen 



j^a d-i_l_ 1_ n l\ 8^a __ ofP^ ]. _ H _ U 



(IxHy^ dx^ily s^s.,\s^ s.J d^Oy- o^i/xdy s.yPiXSi s.,/ 



SfPa _ S()^ j^ TA — -^ °1^- - — °-^^ — (- — L\ 



o-qdxdy o-qilx- ■^iPäVsi s.J Si^-qdy o^o-qO.v ^^i?'; v^i s.,J 



entstehen somit dadurch, dass der Ausdruck fiir dv. ein voUständiges Differential 

 darstellt, was bei Normalenbiindeln der Fall ist. Dieselben können dahef auch un- 

 mittelbar durch successive Differentiationen und Variationen der fiir solche Strahlen- 

 biindel giltigen Beziehung 



erhalten werden. 



