KUNUL. SV. VET. AKADKMIEiNS HANULIJMGAK. JUANU 41. NIO 3. 93 



oder nach Einsetzen der beziiglichen Werte: 



Sp \fii PsJVs Pi)\s 



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Stjj , . : -: 2*1" 





wonacli durcli Peniiutation 





^P \?->-2 Pil'/ \S PlJ\S 



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SOg 2^1:'' 





uiid scliliesslich die Gleichung 





1+^ 





tÖf OJ — ^ 



Sa., 





erlialten wird. 



Tdentisch dieselbe Gleichung gilt bei Vorhandensein von zwei Synimetrieebenen 

 fur die Hauptkriimmuugslinien in Kreispunkten einer Fläche, so dass die Untersucliung 

 der Verlaufstypen identiscb dieseJbe ist, Aveshalb ich mich aucli liier auf die Anfiihrung 

 der Resultate bescbränke. 



Aus dem Vorhandensein der zwei Rymmetrieebenen folgt, dass die ui den 

 singulären Bildpunkt eintretenden Bikllinien stets auf einer und derselben Bildfläche 

 bleiben. Während aber ini allgemeinen Falle die erste Bildfläche eine ii -Fläche in 

 Bezug auf Strahlenbiindel darstellt, deren Hauptstrahlen in der ersten Symmetrie- 

 ebene liegen, eine (?- Fläche dagegen in Bezug auf Strahlenbiindel, deren Haupt- 

 strahlen in der zweiten Symmetrieebene ver] auf en, so känn es beim singulären Bild- 

 punkte vorkommen, dass eine und dieselbe Bildfläche in Bezug auf beide Categorien 

 von Strahlenbiindeln die «- Fläche — dié andere Bildfläche mithin die v -Fläche — 

 darstellt, wobei die Schnittlinien ersterer mit den Synimetrieebenen die Kriimmungs- 

 radien pn ,o.j. , während die Schnittlinien letzterer dagegen die Kriimmungsradien [ui P12 

 haben. Ich nenne deshalb im singulären Bildpunkte diejenige Bildfläche die erste, 

 welche in Bezug auf Strahlenbiindel, deren Hauptstrahlen in der ersten Symmetrie- 

 ebene liegen, eine u - Fläche ist. 



Es ergiebt sich nun fiir den Verlauj der Bildlinien in der Umgebung des si7igulären 

 Bildpunktes folgendes. (S. Fig. 2, wo beide Liniensysteme, auf die gemeinsame Tangential- 

 ebene der Bildflächen projicirt, dargestellt sind.) 



Bei ™-<0 ^ <0 ist die erste Bildfläche eine (i-Fläche in Bezug auf beide Sym- 



ooj oa, o ^ 



metrieebenen, und die auf derselben verlaufenden Bildlinien stellen geschlossene Cur- 

 ven dar, deren Centrum der singuläre Bildpunkt darstellt. Auf der anderen Bild- 

 fläche sind die Schnittlinien mit der Synimetrieebenen Bildlinien. Bei 1+ s^ 1 + ^ <0 

 treten keine anderen Bildlinien unter endlicher Kriimmung in den Bildpunkt ein, sondern 

 die iibrigen v-Linien schmiegen sich derjenigen an, fiir welche ^^' > — 1 ist. (N:o 1.) 



