KUNGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 41. N:0 3. 97 



dH = PidH,~(Ap.^ + 3'p,)dtl~3{6j„ + ■p,)dt^dtl 



nebst den analogen Ausdriicken fiir to und -q . Durch diese Beziehungen können 

 somit die Öffniingswinkel an der Stelle der Coordinaten und umgekehrt eingefiihrt 

 werden. Dieselben dienen auch dazu, die Differentialinvarianten fiir die singulären 

 Fälle zu ermitteln, wo ein Tokalpunkt des Hauptstrahlenbiindels anf die brechénde 

 Fläche fällt. Ist z. B. pi = O, so benutzt man die Differentialinvarianten nach Ein- 

 fiihrung der Öffnungswinkel in der Form 



A k d^H, - (a,„ -i- ^^ dt\ — 3 fe, + ^f\ dt, dA^Q 

 A ^pdH, - 3 {g,„ + ^'-^ dt^ dt, - {Aj„_ + ^^ dt^}^ = O , 



wo in der ersten Gleichung ö^, statt ö^, eingefiihrt, und die zvs^eite durch Permutation 

 erhalten vs^orden ist. Letztere ist unmittelbar nach Einsetzen von Pi = O anzuwenden. 

 Erstere wird, mit der optischen Invariante 



A,a_l)^0 



\lh Pi/ 



multiplicirt, in der Form 



A a (i - vA I ,.., _ /^ ^ ^J^\ ^;,j _ 3 (ö^ + J?L) at, dt: I = O 

 V Pi/ I ' \P, Pi / \Pi PrPa/ -I 



mit den beiden Gleichungen 



A^.J^^^^-(l-'Pj-)(l-ji-)-p^p:il.\dt,dt: = 0. 

 ' \Pi \ Pi/V ?J,pJ /.^- -I 1 - 



welche durch Multiplikation der optischen Invarianten der Aberrationsvi^erte mit den 

 sowohl im allgemeinen Falle wie auch bei Pi = giltigen Invarianten Ay)Jc?/'J=0 

 åpipldtidt: -^0 erhalten worden sind, summirt. Es resultirt eine allgemeingiltige 

 Gleichung, in welcher p, nicht mehr in einem Nenner vorkommt, und welche fiir 

 Pi = O die gesuchte Differentialinvariante 



A;j. Lpt, + (-f^- — s] dt: + 3(^-- l\ dt, dtl^ = O 



ergiebt. Die entsprechende fiir p^ = O erhält man durch Permutation, und im Falle 

 Pi = ?^2 = O gelten beide. 



Hiermit sind also fiir das achsiale Biindel in symmetrischen Systemen die 

 vollständigen Gesetze dritter Ordnung der linearen Projection gegeben. Die iibrigen 

 Gesetze der Projection werden, wie in einfach asymmetrischen Systemen, am besten 

 im Zusammenhang mit der Abbildung untersucht. 



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