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an eine merkwürdige Probe erinnert, die Herr Hagge in Schot, 

 tens Zeitschrift ^ veröttentlicht liat. Ist nämlicli r der Radius des 

 Umkreises M, p derjenige des Inkreises N eines bizentrischen 

 /?-Ecks und MN=c die Zentrale beider Kreise, so besteht zwi- 

 schen r, p und c eine Gleichung. Setzt man darin r=2, 6'=1, so 

 erhält man für p stets eine algebraische Gleichung mit ganzen 

 Koeffizienten, deren Summe gleich 1 ist. 



Will man diese Gleichung elementar ableiten, so kann man 

 wie Fuss und Steiner, die Winkelsumme benutzen ; besser ist 

 aber die Methode der Normalprojektion der Eckradien und 

 der Zentralen auf die zugehörigen Berührungsradien oder die 

 Normalprojektion der Zentralen auf die Seiten des Polygons. 

 Wichtig ist die Bemerkung, dass es sowohl für gerade, als auch 

 für ungerade Werte von n je zwei symmetrische Polygone gibt, 

 von denen im erstem Fall bald das eine, bald das andere leich- 

 ter zum Ziele führt. Jede Seite wird von ihrem Berührungs- 

 punkt in zwei Stücke zerlegt. Je zwei von einer Ecke ausge- 

 hende Stücke sind gleich. Bezeichnet man bei geradem n die 

 gleichliegendeu Stücke links und rechts mit gleichen Buchsta- 

 ben xx\ y y' . . ., so erhält man den Ausdruck für das gestri- 

 chene Stück aus demjenigen für das ungestrichene, indem man 

 hier p durch — p ersetzt und es gilt das allgemeine Gesetz : 

 xx' = yy' = zz' = .... 



So findet man die bisher bekannten Gleichungen in einfacher 

 und symmetrischer Gestalt ohne Begleitung lästiger Faktoren 

 und kann leicht die weitern Gleichungen für w = 9, 10. . . hin- 

 zufügen. Setzt man mit Fuss : 



j) = r \ c, q = r — c, pq = qs 



so lautet z. B. die Gleichung für das Siebeneck : 



s' + ip'-p-)- ^^ ^ 

 oder rational gemacht : 



{p + q)\p - q)-. ^6 - 2pq{p + 2)(p - q)-.(p- + q-). q' 



- p\-(p- - qy-. Q^ + Ap\%p + q:xp- + 2' - m)- q' 



- pYiP + g)'- e^ - 2p'''q;'(p + q). Q + p\^ = 0. 

 1 Jahrgang 1911, S. 98, und 1912, S. 375—378. 



