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3. Prof. Dr. M. Grossmann (Zürich): ProjeJdiver Beweis der 

 absoluten FaraUelenkonstruldion von LohatscheJsJdj. 



Es sei A B C D ein ebenes Viereck, das bei A, B und D rechte 

 Winkel hat. Dann ist der Winkel bei der vierten Ecke C ein 

 spitzer, rechter oder stumpfer Winkel, je nachdem die Geome- 

 trie von LohatscheJsJdj, Euklid oder Riemann gelten soll, und 

 gleichzeitig ist B C grösser, gleich oder kleiner als AD. Im 

 ersten Falle schneidet der Kreis mit dem Mittelpunkte A und 

 dem Radius BC = r die Gerade C D in zwei Punkten S und T, 

 und man kann auf trigonometrischem Wege zeigen, dass die 

 Geraden AS und AÏ die Parallelen sind, die man durch den 

 Punkt A zur Geraden B C ziehen kann.' 



Es ist wiederholt versucht worden, diese Parallelenkonstruk- 

 tion geometrisch zu beweisen ; aber die bisherigen Beweise sind 

 keineswegs einfach und bestehen überdies in einer nachträgli- 

 chen Verifikation, welche die tieferen Zusammenhänge nicht 

 erkennen lässt." 



Nun bietet aber die von Cayley und Klein entdeckte projek- 

 tive Formulierung der Sätze der nichteuklidischen Geometrie, 

 wonach die metrischen Eigenschaften einer ebenen Figur pro- 

 jektive Beziehungen derselben zum absoluten Kegelschnitt der 

 Ebene sind, die Mittel zu einem sehr einfachen und anschauli- 

 chen Beweis. 



Es sei in Fig. 1 tu der absolute Kegelschnitt, A irgend ein 

 eigentlicher Punkt, k der Kreis mit dem Mittelpunkt A und 

 dem beliebigen Radius r, und a die Abstandslinie zu einem 

 beliebigen Durchmesser x des Kreises, d. h. der Ort aller 

 Punkte, die von x den Abstand r haben. 



Zwischen den drei Kegelschnitten lu, k und a bestehen fol- 

 gende Beziehungen : l) w und k sind in doppelter Berührung 

 in den imaginären Schnittpunkten mit der absoluten Polaren 

 von A. 2) tu und a sind in doppelter Berührung in den Schnitt- 



1 Engel und Stieckel : Urkunden zur Geschichte der nichteuklidischen 

 Geometrie. Bd. I. Nikolaj Iwanowitsch Lobatschefskij. S. 256. 



- '\ gl. insbesondere Engel : Zur nichteuklidischen Geometrie, Leipzig, 

 Ber. Ges. Wiss., 50, 181-191 (1898). 



Schur: Ueber die Grundlagen der Geometrie, Math. Ann. 55, 265-292 

 (1901). 



