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i points? Désignons cette probabilité pai-jj^ Il est utile de réu- 

 nir les rangées en groupes que j'appellerai/r/m?7Ze.v. Je dirai que 

 deux rangées appartiennent à une même famille, si elles se 

 composent de cartes de même valeur. Désignons par m le nom- 

 bre des familles de i points. J'ai calculé m pour tous les i ne 

 dépassant pas 31. En particulier il existe 4231 familles de ran- 

 gées ayant chacune 31 points. 



Dans le jeu de trente et quarante les cartes ne sont pas remi- 

 ses dans le jeu ; la probabilité pi dépend donc du nombre et de 

 la valeur des cartes sorties. Mais considérons le cas hypothéti- 

 tique où les cartes sorties seraient remises dans le jeu et soit 

 Pi la probabilité d'abattre une rangée de i points dans cette 

 hypothèse. Bertrand s'est borné à ce cas limite, déjà envisagé 

 par Poisson et Oettinger, mais un certain nombre des valeurs 

 des Pi calculées par lui contiennent des décimales inexactes. 

 En particulier P3, = 0,148061 (plus exact. 0,14806086) et non 

 0,148218; par conséquent l'avantage du banquier dans cette 

 hypothèse serait |- 0,0219220 et non f 0,0219686. 



2. C'est dans l'étude du problème réel que la notion de 

 famille m'a été particulièrement utile. Pour évaluer la proba- 

 bilité j9i il suftit de calculer le coefticient de t^ dans le dévelop- 

 pement de (1 -{-ut)'^'{l -j-wf )*■=. . . (1 + ut^''Y'\ a?i, a?2 . . .x^^ dési- 

 gnant le nombre des as, des deux, etc., au moment ou l'on abat 

 la rangée. Ce coefficient est un polynôme de la forme 

 a^u^-a^u'-^. . .-{-aku^ . Posons s=x^-\-x^-{- . . .-fiCio ^^ ^oi^ ^^ 

 le coefficient binomial (^f' ) ; la probabilité d'abattre une rangée 

 de m cartes et de i points est égale à 



k 

 T-, d'où r>i = 7 ^— . 



bm ^ bm 



m = 1 



Mais est-il nécessaire de calculer toutes ces fractions ? Oettin- 

 ger néglige celles dont l'indice est supérieur à une certaine 

 limite. J'ai cherché à me rendre compte du degré d'approxi- 

 mation obtenu de cette manière, en décomposant 7^ en une 

 somme de probabilités partielles relatives aux différentes tamil- 



