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ques mots, comment se pose le problème de la résolution des 

 singularités des surfaces, puis, dans un exposé d'un caractère 

 tout à fait général, développe sa méthode, en résolvant d'une 

 manière complète la singularité que la surface 



(1) z"^ — 4y'' + àxY + «V - «'^ + AxY'z" = 

 présente au point 



(2) X = y = z = 0. 



Son procédé le conduit à faire correspondre aux points sin- 

 guliers considérés certains polyèdres analogues aux polygones 

 de Newton utilisés pour les courbes algébriques planes. 



Dans l'exemple de ci-dessus, la polyèdre comporte une seule 

 face finie, triangulaire, T. La résolution complète de la singu- 

 larité s'effectue en partant de trois substitutions se rattachant 

 respectivement à chacune des arêtes de T, et de la forme : 



[ X = ^ ïja' M«" 



(3) 2/ = I* t' M*" 

 \ s = ^"^ rj"' w" 



Les exposants a, h, c, etc., sont des entiers positifs ; quelques- 

 uns d'entre eux peuvent être nuls. Leur déterminant, pris en 

 valeur absolue, doit se réduire à l'unité. 



Par l'intermédiaire des substitutions (3) ou obtient des repré- 

 sentations holomorphes de portions de la surface (1), dans le 

 voisinage du point (2), qui, dans leur ensemble, représentent 

 complètement cette surface il) dans le voisinage de ce même 

 point (2). 



Pour atteindre ce dernier résultat, il suffit d'ailleurs un 

 nombre fini de ces représentations ^ 



M. G. Dumas montre ensuite que le polyèdre permet de dis- 

 tinguer les uns des autres les diflerents cycles, ou, ce qui revient 

 au même, les diverses nappes qu'une surface présente dans le 

 voisinage d'un point singulier, et, termine en donnant quelques 



1) Pour de plus amples renseignements sur la résolution de la singularité 

 coûsidéi-ée, voir Co^nptes rendus de V Académie des Scie?ices, t. 154, p. 1495, 

 séance du 3 juin 1912. 



