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indications relatives à ditterents polyèdres rencontrés dans le 

 cours de ses recherches. 



8. Prof. D"" M. Plancherel, Fribourg. unicité du développe- 

 ment d'une fonction en série de polynômes de Legendre et expres- 

 sion analytique des coefficients de ce développement. 



1 d^ 



Pn ix) désignant le polynôme de Legendre . -^ — ix"—ï) «, 



^ • ^ ^ ^ ^'^ n! dx'^ 



nous appellerons série de polynômes de Legendre toute série de 

 la forme ^ anVn{x). f (x) étant une fonction somraable 



n = o 



dans l'intervalle ( — l^-f- 1), on peut former les coefficients de 



2n-\- Ì r'^ ^ 

 Legendre fn = — f, — | / (x) P,i (x) dx. La série S fi P« (x) 



formée au moyen de ces coefficients n'est pas nécessairement 

 convergente; nous l'appellerons la série de Legendre d^f (x), 

 f {x) en sera dite la génératrice. 



On peut se poser au sujet de ces séries des questions analo- 

 gues à celles gue Cantor et Dubois-Beymond ont posées et par- 

 tiellement résolues dans la théorie des séries trigonométriques. 

 Les théorèmes suivants constituent une réponse partielle à ces 

 questions. 



I. La condition nécessaire et suffisante pour que dans tout l'in- 

 tervalle (— 1^^ 1) à l'exception au plus d'un ensemble réductible 

 de points, S an Pn {x) converge vers zéro, est que an'= o (n = 1, 

 2,3,...,). Ce théorème est dû à M. Dini. La méthode qui me 

 donne les théorèmes suivants m'en fournit une démonstration 

 plus simple. 



IL Si la série S an Fn (x) converge dans tout l'intervalle (— 1^ 

 -\- 1), à l'exception au plus d'un ensemble réductible de points, 

 vers une fonction f (x) bornée, c'est une série de Legendre dont 

 f (x) est la génératrice. 



IIL La condition nécessaire et suffisante pour qu'une série 

 Yi an Pn (x) (convergente ou non) possède une fonction génératrice 



