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X 



f (x) est que la série X anj Fn (x) dx converge dans iout l'inter- 

 — 1 



X 



valle (— l^-\- 1) vers Jf (x) dx. 

 — 1 



Dans les théorèmes analogues de Cantor et de Dubois-Rey- 



raond, l'élément analytique qui joue un grand rôle dans la 



démonstration est l'expression — - \_f {x -{- h) -\-f(x — h) — 



1f{x)] dont la limite pour h ^= o donne la dérivée seconde 

 généralisée def{x). Pour trouver dans notre cas une expression 

 jouant un rôle analogue, nous considérerons une fonction F 

 (o/f) sur la sphère de rayon 1. Décrivant autour du point (S,^) 

 comme centre un petit cercle de rayon sphérique h, appelant 

 (§Vf') les points de ce petit cercle, ds' l'élément d'are et s le 

 périmètre de ce petit cercle, nous formerons l'expression 



4F(ô,95;h) = [1 CF{ò\(p')ds' - Fiô,(p)\ 



Notant A. F (d,'s>) la limite de cette expression pour h = o, 

 il vient, si F possède une dilierentielle seconde, 



A^F = ~. — F :^ sin ô ^r^ + 



sin Ó 9ô \ 90/ sin^ Ó d(p'^ 



En particulier. A., Fn (cos o) = — n (n^ 1) P,i (cos 5). L'ex- 

 pression A, F (o, œ ; /O jouit de propriétés d'extréraum qui per- 

 mettent de suivre dans la démonstration de nos théorèmes une 

 marche analogue à celle donnée par Holder dans le cas des 

 séries trigonométriques. Faisant correspondre maintenant par 

 la substitution x = cos o, à toute série ï an P« (x) une fonction 



F (o) = — S — 7 — - — -7 P« (cos 5), on démontre que , sin 



n{n -{- 1) h = o 



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- A, F (o, /i) = et qu'en tout point de convergence de la série 



Â 



S an Pn {x): Ag l^" (S) + ao = S an P« (cos S). L'utilisation de ces 

 propriétés conduit sans difficulté aux théorèmes énoncés plus 

 haut. 



