— 106 - 



I. Dans les méthodes statistiques, il est d'usage d'établir 

 une comparaison entre le système étudié et des tirages dans 

 des urnes. Lorsqu'on fait plusieurs tirages dans une même 

 urne, en remettant chaque fois la boule dans celle-ci, il faut 

 agiter l'urne pour produire un « brassage » des boules afin de 

 rendre indépendantes les probabilités des tirages successifs. 

 H. Poincaré a étudié un cas important de brassage : le battage 

 d'un jeu de cartes. A chaque coup, les cartes subissent une 

 permutation et, comme le joueur a certaines habitudes, les 

 différentes permutations possibles ont des probabilités diffé- 

 rentes de se produire. Avec un jeu de k cartes, il y a ä;.^ permu- 

 tations possibles ayant pour probabilités respectives : x>i>P2> • • • 

 pk. Poincaré montre que quelles que soient les habitudes, 

 d'ailleurs inconnues, du joueur, autrement dit, quels que soient 

 les^, l'ordre final des cartes ne dépend pas de l'ordre initial si 

 le nombre n de battements est très grand, le cas trivial excepté 

 où l'un des p est égal à 1, et les autres sont tous nuls. Ce 

 résultat reste valable même en considérant un système réel 

 joueur-cartes, qui se transforme nécessairement avec le temps 

 (usures des cartes, changements d'habitudes du joueur, etc.) ; 

 les^; deviennent alors des fonctions inconnues du temps qui 

 n'expriment pas autre chose que l'absence de régularité. 



Ce brassage peut être appelé brassage à une dimension, 

 celui des boules dans une urne étant à trois dimensions. 



Il est important d'introduire le cas limite obtenu en imagi- 

 nant des opérateurs fictifs (démons) : 



1° ou bien qui n'ont aucune espèce d'habitudes, autrement 

 dit, dont les mouvements sont parfaitement décoordonnés ; 

 alors tous les p sont égaux et tous les ordres sont également 

 probables au premier battement ; 



2° ou bien qui ont certaines habitudes, mais sont capables 

 d'effectuer un nombre infìni de battements en un temps très 

 court T. 



C'est ce cas limite que nous appellerons le hrassage parfait. 



Il est intéressant de remarquer que lorsqu'on passe de la 

 première alternative à la seconde, le nombre de battements 

 passe brusquemment de la valeur 1 à une valeur infinie. 



