DES SCIENCES NATURELLES. Il 



el Steiner, pour traiter les questions de maximum et de 

 minimum donnent prise à la même critique que le 

 principe de Dirichlet, en ce sens que ces méthodes suppo- 

 sent implicitement l'existence du maximum et respective- 

 ment du minimum. Toutefois, à l'aide d'une proposition 

 de Weierstrass, la preuve d'existence qui faisait défaut 

 peut être donnée et il en résulte que les considérations de 

 L'Huillier et de Steiner reprennent leur valeur au moyen 

 d'un complément qui devient nécessaire dans la plupart 

 des cas. L'auteur précise ces remarques générales par 

 quelques exemples simples et en particulier par la donnée 

 suivante : « Parmi tous les polygones de n côtés ayant 

 une même surface donnée, déterminer celui pour lequel 

 la somme des X«°"^^ puissances des côtés devient un mini- 

 mum, où X exprime une constante réelle et positive ». 

 Le minimum a toujours lieu pour le polygone régulier de 

 n côtés, si > > 1. Le cas de X< l présente des difficultés 

 insurmontables. On peut montrer dans ce cas que déjà 

 pour n=5 par un choix convenable de X, ce n'est point 

 le polygone régulier de 5 côtés qui parmi tous les poly- 

 gones de 5 côtés donne lieu à la moindre somme des X*""^^ 

 puissances des côtés. 



M. le prof. Franel, de Zurich, fait une communica- 

 tion sur une formule fondamentale de Kronecker. Soient 

 a, b, c des quantités imaginaires telles que la partie réelle 

 de l'expression ax^ -]- 2bxy -f- cy^ (x et y étant réels), 

 soit une forme positive et 



^^^ ~ {am'- + ^bmn + cn^y ' ^^ 



la sommation s'étendant à toutes les valeurs entières de 

 m et de n, le système m = o, n = o excepté. La fonc- 



