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communes de deux cercles quelconques des faisceaux, pris l'un 



i^ 1 ) /,+ l>m.l„. n ,7~„„„ TP( 2 ) 



dans F et Vautre dans F: , sorcf fówa sur une même droite 



appelée l'axe radical principal des faisceaux. Les points de 

 coupe des tangentes intérieures communes des mêmes cercles sont 

 tous sur une autre droite appelée l'axe radical secondaire des 

 deux faisceaux. 

 b) Le même théorème subsiste pour deux faisceaux F (I) et F " J 



i. i • 



III. Involutions. — Considérons maintenant un point quel- 

 conque P du plan d'un faisceau F 3 ou F^ complété par le 



faisceau conjugué F 3 ou F 4 et par ce point menons deux 



tangentes à chaque cercle du faisceau considéré. Soient t et t 

 les deux tangentes à l'un quelconque des cercles. La puissance 

 absolue de la droite PS = a, S étant le sommet du faisceau, 

 sera la même par rapport à tous les cercles du faisceau F et la 

 même par rapport à tous les cercles du faisceau complémen- 

 taire F . 



Si nous posons : angle (t a) = a. et angle (t a) = a, nous 

 aurons : 



-^ . , a n — a' 



Puissance de a = tg - . tg — - — . 



Avec les deux tangentes d'un autre quelconque des cercles du 

 faisceau nous aurons également : 



_ . , a n — a' ß n — & 



Puissance de a = tg - . tg — - — = tg - . tg — ~— = . . . = const . 



à ' 2k 2i 2i 



Les bissectrices des angles compris entre a et t ou a et le pro- 

 longement de t donnent lieu à un produit de tangentes trigo- 

 nométriques constant; ces bissectrices forment une involution. 

 D'où nous tirons le théorème suivant : 



lliéorème: A tout point P du plan d'un faisceau F 3 ou F 4 de 

 centre radical principal S correspond une involution de rayons. 

 Les rayons conjugués sont les bissectrices des angles compris 

 entre Vaxe PS=a et la première tangente menée de P à chaque 

 cercle du faisceau, puis entre a et le prolongement de la deuxième 

 tangente menée de P au même cercle. Les rayons doubles sont 

 toujours réels dans le plan d'un faisceau F^ et dans l'angle inté- 



