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rieür du plan d'un \ faisceau F 3 . Dans son angle extérieur ils sont 

 imaginaires. 



Les rayons doubles réels sont les bissectrices des angles compris 

 entre l'axe a et les tangentes des deux cercles du faisceau passant 

 pur le point considéré. 



3. 0. Spiess (Basel). - - Schliessungsprobleme bei konvexen 

 Kurven. 



Zu einer beliebigen geschlossenen Kurve C sei eine Kon- 

 struktion K gegeben, die jedem Punkt A der Kurve einen 

 andern A t zuordnet und zwar soll gelten : 



1. A und A^ bestimmen einander umkehrbar eindeutig. 



2. Durchläuft A die Kurve in bestimmtem Sinn, so durch- 

 läuft A x dieselbe im Gegensinn. 



Die Konstruktion K «schliesst », wenn A t — À ist (Fix- 

 punkte); sie schliesst nach zweimaliger Ausführung, wenn 

 A a —Ä ist, d. h. wenn sich A und A ± wechselseitig entsprechen 

 f Wechselpunkte) . Das Schliessungsproblem besteht darin, die 

 Fixpunkte und Wechselpunkte zu bestimmen. Man erkennt 

 folgendes: 



I. Es gibt immer genau zwei Fixpunkte; sie trennen je 



zwei entsprechende Punkte A und A ± . 

 IL Wechselpunkte kann es geben in endlicher oder unend- 

 licher Zahl. 

 III. Ist A ein beliebiger Punkt von C (weder Fix- noch 

 Wechselpunkt), so sind die durch Wiederholung von K 

 entstehenden Punkte A, A tì A 2 , A 3 ,... alle ver- 

 schieden und nähern sich alternativ den Grenzpunkten 



lim A 2k = % , lim A 



2k-\-l 



Ist <*! 4 1 a, so sind a, a t Wechselpunkte; ist v. x = a, so 

 ist a Fixpunkt. In Praxi können daher diese Punkte durch 

 endliche Wiederholung von K gefunden werden. Derselbe 

 Schluss gilt für die aus der inversen Konstruktion K~ ent- 

 springende Punktreihe A, A_ x A_ 2 ... 



Ist C konvex, so lassen sich solche Konstruktionen K in 



