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wärtig zwei Betrachtungsweisen unterscheiden, die mengen- 

 theoretische (vergi, namentlich die Arbeiten Brouwers) und die 

 kombinatorische (die in dem Enzyklopädie-Artikel von Dehn 

 und Heegaard die herrschende ist). Um die Bedeutung jeder 

 dieser beiden Untersuchungsrichtungen und ihr gegenseitiges 

 Verhältnis zu illustrieren, knüpft der Vortragende an dasjenige 

 spezielle Problem der Analysissitus an, das in Kiemanns Theorie 

 der algebraischen Funktionen die entscheidende Rolle spielt: 

 die Bestimmung der Zusammenhangszahl zweidimensionaler 

 geschlossener Mannigfaltigkeiten. 



Durch Zerlegung einer solchen Mannigfaltigkeit in endlich- 

 viele « Elementarflächenstücke » entsteht aus ihr ein Polyeder 

 (Möbius) ; zur weiteren Vereinfachung mag jedes Polygon in 

 Dreiecke zerlegt werden. Nachdem man deren Ecken durch 

 irgendwelche Symbole, z. B. Buchstaben, gekennzeichnet hat, 

 stellt man in einer Tabelle die sämtlichen Dreiecke, aus denen 

 die triangulierte Fläche besteht, zusammen ; jedes Dreieck ist 

 dabei durch Angabe seiner drei Ecken zu charakterisieren. So 

 entsteht das kombinatorische « Schema » der Fläche. Zwei 

 Schemata entspringen, wie sich plausibel machen lässt, durch 

 verschiedene Triangulierung aus derselben Fläche, wenn sie 

 « homöomorph » sind, d. h. durch « Unterteilung » in ein- 

 und dasselbe dritte Schema übergeführt werden können. Die 

 Homöomorphie ist eine rein kombinatorischeBeziehungzwischen 

 den beiden Schemata. Die wichtigste Schema-Invariante im 

 Sinne der Homöoinorphie ist die Zusammenhangszahl = 

 k — e — d -f- 3 (k = Anzahl der Kanten, e der Ecken, d der 

 Dreiecke); für «einfach zusammenhängende» Flächen ist sie 

 = 1 (Eulers Polyeder satz). 



Um aber streng zu begründen, dass die so gewonnene Zu- 

 sammenhangszahl eine Analysis-situs-Invariante der ursprüng- 

 lich gegebenen zweidimensionalen Mannigfaltigkeit ist, sind 

 ganz anders geartete, auf den Begriffen der Mengenlehre 

 basierende Betrachtungen nötig. Zunächst ist dazu eine exakte 

 Festlegung des Begriffs der zweidimensionalen Mannigfaltigkeit 

 erforderlich. Um dann eine von jeder Triangulation unabhängige 

 Definition der Zusainmengszahl zu gewinnen, kann man einen 



