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taten gelangt. Einige ganz bestimmte Beispiele: die ganze 

 Funktion von x 



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(die Hälfte einer Thetareihe) genügt keiner algebraischen 

 Differentialgleichung, wenn q rational. — Die Differential- 

 gleichung 



m— 1 d U , m-2 d m, dy 



ist irreduzibel, in dem Sinne, dass kein Integral von ihr einer 

 homogenen linearen Differentialgleichung mit rationalen Koef- 

 fizienten genügt, deren Ordnung ■< m ist. 



9* Dr. H. Berliner (Bern). — Ueber zivei projektive natür- 

 liche Geometrien. 



Die beiden mittelst der Abszissen und Ordinatenwinkel- 

 systeme entstehenden projektiven Massgeometrien (s. Berliner, 

 Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesell- 

 schaft, 1915, Teil II, page 109) führen zu zwei natürlichen 

 Geometrien. Definieren wir nämlich die Bogenlänge einer 

 Kurve als den Grenzwert der Länge (im Sinne jener Mass- 

 geometrien) eines dem Kurvenbogen eingeschriebenen Polygons, 

 dessen Seiten nach streben, so wird die Abszisse und ebenso 

 der Ordinatenwinkel eines Punktes auf der Kurve (s. a. a. 0.) 

 eine Funktion der Bogenlänge sein. Die Kenntnis dieser 

 Funktion genügt nun, um die Gestalt (im Sinne jener Geo- 

 metrien) der Kurve, nicht aber um ihre Lage in der Ebene zu 

 bestimmen. In der Tat setzt man A(BCQP) = (QP) 2 : (QP) S , 

 B(CAQP) = (QP), : (QP),, C(ABQP) = (QP\ : (QP), , so ist 

 (QP), = (QPJ^P,), . • • (P^PJÄPyti™ = 1,2,3; ferner 



y — %' 



ist (QP); = , wo x , y die Abszissen von Q , P in dem 



x z t 



QP zugeordneten Systeme bedeuten. Ist also eine stetige 

 Funktion t = œ(s) gegeben, und zieht man durch einen Punkt 

 P die Gerade P P 1 , deren Abszisse im Systeme von P/f (s ) 



