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dans sa méthode de développer la théorie de l'intégration 

 simple. 



1. La méthode s'applique également quand l'intégration est 

 ordinaire, ou par rapport à une fonction à variation bornée, 

 soit continue, soit discontinue; 



2. Elle s' applique également quand V intégration est multiple; 



3. Dans cet exposé il ri est pas nécessaire de recourir à une 

 perspective illimitée de suites monotones. Il s'agit seulement de 

 définir les intégrales des fonctions semi-continues de M. Baire, 

 qui sont précisément les intégrales par excès et par défaut de 

 M. Darboux, et d'appliquer ensuite le théorème suivant : 



L'intégrale d'une fonction f(x) est en même temps la borne 

 supérieure des intégrales des fonctions semi-continue supérieure- 

 ment plus petites que f(x), et la borne inférieure des intégrales des 

 fonctions semi- continues inférieurement plus grandes que f(x). 

 (Comptes rendus, t. 162. p. 909). 



4. La méthode n'exige pas une connaissance préalable de 

 la théorie des ensembles, et en particulier de celle de la 

 mesure. 



L'avantage du point de vue logique est que le traitement est 

 uniforme. On définit la mesure comme un genre spécial d'inté- 

 grale, où la fonction intégrée ne prend que les valeurs et 1. 

 En effet, la définition de la mesure en général n'est pas justifiée 

 sans l'emploi d'un raisonnement identique à celui que le confé- 

 rencier adopte dans sa théorie de l'intégration. D'un autre 

 point de vue, pourquoi définir d'abord, et d'une manière géo- 

 métrique les intégrales des fonctions à deux valeurs, pour en 

 déduire celles des fonctions générales ? Même les fonctions 

 continues prennent toutes les valeurs entre leurs bornes supé- 

 rieures et inférieures. C'est le nombre des limites nécessaires 

 pour définir et exprimer une fonction qui en détermine la 

 place dans l'armée des fonctions, et ceci ne dépend guère du 

 nombre de valeurs qu'elle prend. 



Après ces remarques le conférencier passe à la considération 

 de l'intégrale multiple / f(x, y, z,....) dg (x, y, s, .-...)• Ayant 

 donné la définition, et observé que l'intégration ordinaire est 

 l'intégration par rapport à la fonction xy, le conférencier mon- 



