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tre sur une planche des formules fondamentales de l'intégration 

 double. Entre ces formules on peut citer le suivant : 

 Si F(x, y) = fj(x, y) dx, 



r «,b .b f a a (fi? 



/ F(.r, y) dgl.r, y) = J F dg\ - / j- dg(x, y) , 



' 0,0 J !/-0 L J x~0 J o dx 



ainsi que le théorème de la moyenne, type Ossian Bonnet : 



r a,b r a,b 



/ f{-r, y)gU-, y) d{xy) = g(a, b) / f(x, y) d{xy) . 



J 0,0 J X,Y 



où g(x, y) est monotone non-decroissante par rapport à x , à y 

 et à (x, y). 



En conclusion le conférencier parle de l'application de sa 

 théorie aux Séries de Fourier d'un nombre quelconque de 

 variables. Il donne les résultats nouveaux pour le cas d'une 

 variable. Nous n'en citons que le suivant : 



La série de Fourier de f(x) converge au point x, si 



existe, et 



est bornée. 



±f u o d(u(f[x + u) + f{x-n))\ 



12. W.-H. Young et M me Young. — La structure des fonc- 

 tions à plusieurs variables. 



Le sujet de cette conférence est une généralisation pour plu- 

 sieurs variables du théorème remarquable donné par M. Young 

 à la séance de la British Association, à Leiceister, en 1907, 

 d'après lequel les limites supérieures et inférieures d'indéter- 

 mination y(x) et tj>(as) de/(# -j- Tfc)» où h est positif et s'approche 

 de zéro, sont les mêmes que celles de f(x-h), sauf dans un 

 ensemble dénombrable de points. On exprime brièvement ce 

 résultat en disant, qu'il y a symétrie à droite et à gauche, sauf 

 dans un ensemble dénombrable de points. 



Dans le plan, et dans n dimension, nous trouvons ainsi en 

 général qu'une fonction quelconque possède une structure, pour 

 ainsi dire, cristalline, en vertu du théorème suivant : 



