4 DILLNER, INTÉGRALES DEFINIES DES FONCTIONS D UNE VAKIABLE COMPLEXE. 



Intégrale circnlaire. 



2. Soit V{a;) une fonctiou synectique en tous poiiits du lacet A et de Taire du 

 oercle (a), et posons 



d'aprés uue formule connue, on a 



X — a 



(2) j^Ja, = 2mV(a) 



Si Ton a U{a.^ ^^117)' ^^^ ^('*) ^^ '^il*') sont des foiictiuns synectiques en tous points 

 du lacet A et de Taire du cercle (a), la quantité a étant une racine simple de Téquation 

 iij (x) — O, on aura la formule connue 



>.ix) 7 _ o . l(a) 



/.(SJ 



r, (a) 



En difierentiant la formule (2) n fois par rapport a a, qui est indépendant de x 

 et qui n'entre pas dans la fonction V{a:), on obtient 



(4) ir^/^^TTT cZ^ = 2mT«(a) 



A Taide de cette formule on obtient, au Ireu de (3), si a est une racine d'ordre 

 s de réquation ^i(x) = 0: 



La formule suivante, dont nous ferons usage, doit étre remarquée. En posant 

 X — a = pe'"', p étant le rayon du cercle @, d'oii dx ^= (x — a) i doj, on obtient, puis- 

 que lim {x — a) log {x — a) — O, la formule 



[x = a] 



r® 



(G) Jlog {x — a) dx = 0. 



Intégrale linéaire. 



3. D'aprés la definition, donnée au n° 1, de Fintégrale linéaire, on a la formule 



(7) Su{x) dx = i{U{x) - U, {x)] dx, 



d'ou il suit, pour U{x) — U^ (x), c'est-ä-dire pour le cas oii la fonction U(x) est mouo- 

 drome autour du point a, que Ton a 



(8) fu{x)dx:=0. 



Supposons que X et X^ soient des fonctions synectiques de x en tous points de 

 lacet A et de Tairc du cercle (7?), et soit il/ une constantej alors on aura ä laide de (6): 



