KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAli. BAND. 18. N:0 6. 5 



fx {log {x — ay + X,} dx = Sx {log {x — aY + X, ] dx. 



Posons X — a = pe"", Q étant le rayon du cercle (a); posons ensuite 



U{x) = X {log (x — aY + X,} = X [M [log p + i(o] + XJ, 



cVoii suit 



Z7i (a;) ^X{M [log (> + i (ft» + 27i)] + Jt^} ; 



donc, ä Taide de (7), on obtient cette formule d'intégration ^) 



(9) /X {log {x — aY + X,}dx=^ — 2ni3lfx dx, 



oii la limite supérieure dlntégration a est remplacée par la quantité infiniment voisine 

 a, puisque la fonction X est supposée synectique pour le point a. 



I. Méthode générale d'intégratlon des fonctions rationnelles d'une dimension qul ne 



surpasse pas (—1). 



4. Supposons des lacets Ä, A^, . . . Ax, X.^, . . . Jl« et H^, . . . H/,, tous allant d'un 

 point x^ et entourant comme centres les points critiques a, a^, . . . a.,,, x^, . . . x,,, et Aj, . . . 

 Au des cercles infiniment petits, ces cercles étant extérieurs les uns aux autres et tous 

 compris dans Tintérieur d'un cercle cCc ou C au centre x^, lié au cercle C par la ligne 

 x^c qui ne touche aucun des cercles en question^); et soient h^, . . . h^u des constantes 

 et x^, . . . Xf, des quantités finies quelconques. Comme correspondaute a ces conditions 

 supposons la fonction 



(10) K.) = Ig- log ^^ 



ou y^{x) et F(x) sont des fonctions entiéres et rationnelles de x, n'ayant uucune racine 

 commune, F{x) étant d'un degré supérieur a celui de ip{x) et de la forme, 



(11) F{x) = {x — a)^ F, (x) = (x — aY (x — a,) . . . (x — a.,), 



et oii n(x) et n^(x) désignent des produits de ,« facteurs ;i exposants constants M^, . . . 

 Mu et ayant pour racines respectives x^,...Xfj, h^, . . . hu qui sont difierentes des 

 quantités a, a^, . . . a,, 



TI (x) = (x — x,y^^ . . . (x — x^uY^- 



(12) 



TI,{ä:) = (x — h,Y^ . . . (x — h„) 



Ma 



fonctions qui sont supposées identiques pour x^ = h,. [r = 1, 2, . . .fi\. 



5. Maintenant, la fonction S(x) est synectique en tous les points des lacets A, 

 A^, . . . Ax, X^, . . . Xj.1 et H^, . . . Hfj. et du cercle C; on suppose aussi que £{x) soit 



') Gordan et Clebsch, dans leur travail sur les fonctions abéliennes, ont employé, je crois, les premiers 

 la méthode utile d'intégration conteuue dans eette formule. 

 ^) Le lecteur est prié de dessiuer la figure. 



