6 DILLNEE, INTEGKALES DEFINIES DES FONCTIONS D UNE VARIABLE COMPLEXE. 



synectique en tous points de la ligne x^c. En désignant par j-f (.x') clx Tintégrale [»rise 

 dans le sens positif autour du cercle C, on aura, d'aprés un théoréme connu: 



(13) fi (x) dx + J^. jl (^0 —£y{x)\ dx - ' ~Z {j£{x) dx + f£\x) dx] + '^^' f£{x) dx +fi{x) dx, 



)■ = 1 )• = 1 



oii Sy(x) est la valeur de la fonction S(x) apres que x a décrit le cercle C. Mais, puis- 

 que les points x^, . . . X/^,, h^,...]iu sont situés dans Tintérieur du cercle C, les points 

 critiques a, a^, ... ax étant d'un caractére rationnel, il s'ensuit que S{x) = £y{x) et que, 

 par suite, la seconde intcgrale du premier membre de (13) est nuUe. Nous nous pro- 

 posons de démontrer que la premiere intégrale du méine membre est aussi nulle. A 

 cet effet, en observant que dx = (* — x^) d log {x — a'g), nous mettrons cette intégrale 

 sous la forme, 



f{x) dx ^ 'Ig- (.. - ..,) log ^ ^ ^,, ^ ' \,,^^ d log 0. - X,). 



Posons X — x^ = Qe"", Q étant ainsi le rayon du cercle C et oj Tangie que fait ce 

 rayou avec la direction x^^c., d'ou il suit que (/ log (*• — «„) — - i cZw; en faisant convei-ger 



Q vers Tinfini, Texpression log 77-7^ convergera vers zéro, et son coefficient ^r|r. (.r — x^) 



convergera, sous la condition donnée, ou vers zéro ou vei's une quantité finie. Donc, en 

 désignant par i\\ une quantité dont la valeur principale a pour limite zéro, Tintégrale 

 ci-dessus prend la forme 



jI{x)dx = iJjlUl<o, 



et s'évanouit en méme temps que ill, ce qui démontre Ténoncé proposé. 



6. Si C, au lieu d'etre un cercle, désigne un contour fermé, en tous points du- 

 quel mod {x — x^^) soit intini, Tintégrale en question prend la forme, 



fi{^) dx = /ill d log P6'»" = /,:^ill d log (> + ifjW dco , 



oii (>o désigne la distance x^c, et o^' la méme valeur apres que pe"" a décrit le contour 

 C du point c au méme point. Nous allons démontrer que cette intégrale s'évanouira 

 aussi avec ill- A cet effet, désignons par ill^ la plus grande valeur de mod ill entré les 

 limites d'intégration (Jg et ()^'; alors, 



n„ ill (/ log (J < illo J('„ mod d log p. 



En supposant p croissant de (>„ a pj, décroissant de Pj a Q.,, et ainsi de suite, 

 on aura 



/eJmod (/ log p = /,JcZ logp-J^/j log ? + ... = log (| • '^ • • •)> 



