8 DILLNER, INTEGRALES DEFINIES DES FONCTIONS D UNE VARIAliLE COMPLEXE. 



a = CO 



oii H — p f ?l est une constante indéterminée qui se déterminera en prenant la dérivée 



par rapport å x,. et en attribuant k x,. des valeurs constantes convenables. Cette for- 

 mule, si Ton y applique la formule (4) ou (5), contient la méthode généralc d'intégra- 

 tion des fonctions doublement périodiques uniformes. 



Remarque. La méthode donnée dans la formule (17) pour intégrer une fonction 

 rationnelle d'une fonction doublement périodique uniforme ^{x) s'étendra au cas general 

 oii la fonction p(a;) est uniforme et 2 n'"'""™' périodique ou ä n réseaux de périodes, 



c'est-ä-dire de la forme 



p{x + 2 711,. «,. + 2 n,. öJ^) 

 pour r representant un quelconque des nombres 1, 2, . . . n, 2 oj^ et 2 cö^ étant un pair des 

 périodes, et m,. et 71,- des nombres entiers quelconques ou zéro. A cet effet, si 

 Ton imagine n plans paralléles et infiniment voisins, dont chacun contient un réseau 

 de périodes, et que Ton suppose que ces plans n'aient d'autre point commun que 

 Torigine O de la variable x; alors, si x décrit un contour fermé qui se compose du 

 chemin de O ä O dans le premier plan de la maniére indiquée ci-dessus (n° 8), puis 

 du chemin de O ä O dans le second plan de la méme maniére, et ainsi de suite 

 jusqu'au n'^"" plan, un de ces ?i plans contenant les points x^, . . . x^, et Aj, . . . /i„, il est 

 evident que le resultat obtenu en intégrant suivant ce contour fermé sera identique k 

 la formule (17) si Ton y remplace le second membre par une somme des ?i membres de 

 méme forme, dont chacun correspondra a son réseau de périodes. J'envisagerai une autre 

 fois la possibilité des fonctions de cette nature et leur impoi'tance dans le probléme general 



de rinversion. 



(Jnelques applicatious des identités (15)— (17). 



10. 1° Posons dans la formule (15) TI(x) = x — x^ et, par suite, n^{x) = x — h^; 



alors, on aura, le produit F{x) = (x — a)' Fj_ (x) = (x — a)' {x — a^) . . . (x — (ix) étant 



d'un degré superieur k celui de la fonction entiere et rationnelle ^'(x), le resultat d'in- 



tégration suivant, 



r ' Mx) dx ^ 1 (Z^-l / ipja) 1 g — X|\ )^(n,) , g, —Xt '/'(«.) , ";. — ==< 



j k^ (x-ayF,(x) \s-l da^-1-\F,{a) ^'^O a - hj ^ F'(a,) ^^g a, — h, "^ * * ' "^ ^n,) ^°& "«-'',' 



formule qui comprend Tintégration ordinaire des fractions rationnelles. 



2° Comme exemple de la formule (16) nous posons xf){x) = sn{iK^ + x), F^{x) = 1, 

 TI{x) -— X — x^ et TI.^{x) =^ X — /ij, la fonction doublement périodique ^{x) satisfaisant 



ainsi, pour s^l, k la condition que le quotient \^_^y" soit nul ou fini pour x dé- 

 crivant, d'aprés n" 8, le contour fermé qui se compose des cötés extremes du réseau 

 infini de périodes de la fonction ^>{x). Les infinis n^, . . . ax de la fonction sn{i Ki + x) 



= ,^^ situés dans ce réseau sont tous simples et s'expriment par la formule connue 



a,. = 2 mK + 2 ni^ i K^ , 

 m et r% étant des entiers quelconques ou zéro. En observant que 



r(,. 



V^ = (-l)™ [r=.l,2,...4 



