KONGL. SV. VKT. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 18. N:0 6. 9 



on aura d'aprés (16), 



/i.T, _ . 



9n{iÄ', +x)dx 1 rfs — 1 f /• r^ , a i a — xA 1 ^ Z^ {—!)'•' -, ar — x, 



, ' — T-, — = i 1 , , i-^sn (t A, + a) loe- — t } + t -^ 7 tt Ioä r 



^ (x — ay \s — lda^~i[ ^ 1 ^ o a — A, | i (a, a)» O ar — /i, 



3° Comine exemple de la formule (17) posons, pour ?i un nombre entier positif, 

 ip{x) = sn" (^ /fj + .«), de plus Tl(.'c) = ^' — *'i et lij (,z:) = a; — h^ ; alors, en conservant les 

 notations du dernier exemple, on aura, ä Taide de (5), le resultat d'integration suivant, 



ar 



fsn" (i K, + .) d. = H(., - /O + ^, 'Z fe K^-i^flog :^-|;[- 



t/ 1 r = 1 / 



En différentiant cette identité par rapport ä x^, qui est tout indépendant, on 

 aura le resultat, 



?• = z 



sn {i K, + X,) = i? + ,:;r^^i ^ /;^^ir^-ii(^^) d^-}' 



)• = 1 / 



ou la constante H sei'a déterminée, en assignant k x^ une valeur constante. 



II. Méthode générale d'intégTation des fonetions rationnelles de la variable indépendante 



et d'un produit algébrique irrationnel. 



11. Soit S(x,B) une fonction rationnelle de la variable indépendante x et d'un 

 produit algébrique irrationnel B, satisfaisant k Téquation, 



(18) 5" = ^,' 



n étant un nombre entier positif et ^(x) un produit algébrique rationnel de la forme, 



(19) %\x) = {x-b,f>...{x-b„,)K, 



ou les exposants entiei's et positifs ne contiennent pas tous les facteurs de n et 

 dont au moins un soit premier avec n; alors, d'aprés un théoréine connu, la fonction 

 S{x,B) peut se mettre sons la forme, 



(20) S{x,B) - A, B"-' + . . . + ^„_i B+A„ = —^, + . . . + ^-^+A,„ 



oii les coefficients A^, . . . A^ sont des fonetions rationnelles de x. 



L'intégrale des terines irrationnels de la fonction £{x, B) se réduit k une somine 

 d'intégrales de cette forme, pour s un entier positif, 



(21) f ^MlfL^ 



J {x-aYf(x)P^.^)ir 



oi\ ^(x), f{x) et P(x) sont des fonetions entiéres et rationnelles, les deux derniéi*es 

 étant des produits de la forme suivante, 



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