10 DILLNER, INTÉGRALES DÉFINIES DES FONCTIONS DUNE VAIUABLE COMPLEXE. 



(22) f{x) = {x-a,y^....{x — a-.y-^., 



(23) P{x) = {x-by^...{x-h„.y.., 



les exposants /?i,...Ä„ ne contenant pas tous les facteurs de v;, et Tun au moins 

 étant premier avec n. On supposera pour plus de simplicité ct^ ==...:=: «^ := 1. 



12. Supposons une fonction entiére et rationnelle de degré r, ä coefficients constants 

 g , ■ . . g ^. et ä racines simples Cj, . . . c,,, 



(24) y)(,70 = g^^ + g^ A' + . . . + gy = g ^x — c J . . . {x — c„); 



posons de plus, d'aprés (11), 



(25) F{x) - {x - ay F, (x) et F, (x) - f{x) <p{x) ; 



alors, en difFérentiant Tidentité (15) par rapport aux variables .r^, . . . Xu, les quantités 

 //j, . . hn étant des constantes, un aura Tidentité suivante, 31^, . . . M„ étant supposés des 

 nombres entiers positifs, 



(2b) ^ M,.-, ,, „ , — >— : = i TTT~r{:^:, — ^"^ « lo'? -^rr- r + -^ prT«lo^~Br^ 



) + 



r = i' 



ou Vou a remplacé les différentielles c? log tt^^-), d\ogjj-^[r:^l, 2,...^] et dlogjfj^-^ 



[r =1, 2, . . . /'] par les différentielles identiques d log "p(;^, d log p^^^'^ [?' = 1, 2, . . . ^] 



et rf log p^^^^' [r ~ I, 2, . . . f], la quantité G ainsi que les quantités P((i), P{ai) \_r — 1, 

 2, . . . /it] et P{c,) [r = 1, 2, ... I'] étant des constantes. 



Puisque réquation difFérentielle (26) est une identité pour des valeui's quelconques 

 des variables x^, . . . x,,, on pourra, d'aprés une idée bien connue d' Abel, supposer, sous 

 des eonditions convenables, la liaison suivante entré ces variables et les constantes 

 g , . . . (/^ , considérées pour un instant comme des paramétres variables, 



(27) Gn(x) - Fix) - cp{xy\ 



G étant le cofficient de la plus haute puissance de x du second nicmbre, d'ou Ton tire 

 les deux systémes d'équations suivants, 



(28) P{x,)^ = (f{x^ [r = l, 2,...//], 

 et, ä Taide de (24), 



(29) GTIic.) = P{c^) [r = l, 2,... 4 



Donc, ä Taide de ces systémes, Tintégrale de Téquation différentielle (26) prend la 

 forme suivante, toutes les variables du second membre étant contenues dans les fonc- 

 tions (fl et GU, 



