12 DILLNER, INTÉGRALES DÉFINIES DES FCJNCTIONS D'uNE VAKIABLE COMPLEXE. 



Renuirque 2. En s'aidant de la remarque précédente, oii pourra sans difficulté, 

 pour I egal ä un nombre entiei" positif < n, trouver cliaque intcgrale de cette forme, 



n '/»(a;) dx 



I ^' 



ou lon suppose, pour plus de simplicité, les exposants /?i = ...=/?„ = 1 [voir (23)]. 

 Cette remarque est essentielle s'il s'agit d'intégrer tous les terrues irrationnels de la 

 somme (20), dans la supposition de mémes limites d'intégration pour tous les teriues. 



13. A cause de racines égales de Téquation (27), los équations suivantes, au 

 nombre de (M^ + . . . + M_u), doivent étre satisfaites, 



(36) /n(.) = 0,/« = o, . ./^5^^i5^ =0 [r^-1,2,... ,a]; 



et puisque le nombre des paramétres variables g^, . . .g,' est nécessairement moindre que 

 celui de ces équations, sauf le cas de ,« = ?2 — 2 et il/j ^ .¥3 = 1, ou ces nombres 

 pourront étre égaux, on obtiendra, par Télimination de ces paramétres, des resultats 

 auxquels doivent satisfaire les limites d'intégration de la formule (35), et qui, par lä 

 méme, ne seront pas en general indépendantes Fun de Tauti-e. 



Ces resultats d'élimination contiennent le «théoréme de multiplication» sous la 

 forme la plus générale. 



Remarque. Les équations (36) pourront étre réduites ä des formes linéaires par 



rapport aux paramétres variables g^, . . . g^; car de Téquation II(^x) ^ O on tire, d'aprés 



d//(x) 



(28), (p{x,) = P(av) " , de l'équation j^ = O ou l[PXx) — n(f{xf-^ (p\x)] = O on tire (p'{xr) 

 = irrr; et amsi de suite. 



nP{xr) » 



14. Prenons le cas particulier suivant de lequation (35), 



r = l J i,[x, 



oii d'aprés (32), 



r = 11 



(37) Z M, _]n^f:_^ _ const. + J^ ^ s,\og{z — ^X 



r = l J i,{x,-a)P{x,)l^ P(a)V,.= l 



(38) z - '''"' 



(/(«) 



/ GII{a)\l- 



et oii les limites d'intégration doivent satisfaire aux resultats de Télimination des (M^ + 

 . . . + Mil) équations (36). 



En observant que -2' f^ = O et ^ *^ log ir = const., Tintégrale (37) peut se 



r = 1 r = 1 



C 



mettre sous la forme suivante, — - étant une nouvelle constante d'intégration, 



