tvONGL. SV. VICT. AKADEMIENS IIANDEINGAU. 15AND. 18. N:0 6. 1 T) 



Différentielle d'uue fouction qiiaternale. 



17. Une fonction qiiaternale /(t) est dite continue au point 'C si 



(3) lim {/(f 4 h) -/(c)} = O, 



[A = 0] 



on Versor h est arbitraire pouv liin T/t ^ 0. 



HamiltoiJ déiinit la différentielle d'une fonction quatei^nale f{'C) par la formule 



(4) dfiO ^ lim [n{f{S + fj -/(t)}], 



oii n est un nombre positif et oii la connexion des différentielles df{'C) et d£ avec les 

 difterences ^-(/"(t) et ^S s'exprime par les égalités. 



(5) dfiO = lim [nzlfi^)'] et d'C ^ lim [n J?]. 



[n = oo] [" ^ °°] 



Ainsi, les différentielles df(^) et cZt^ doivent étre considérées comme des complexes 

 quaternales ayant des tenseurs arbitraires et coplanaires k des différences évanouissentes 

 ^f{'C) et ^L. De la on tire la conséquence suivante: 



Si les coordonnées d'une complexe quaternnle déterminent un 2)oint P sur une surface^), 

 leurs différentielles déter miner ont un point arbitraire dans le plan tangent au point P, ce 

 jjoint étant pris pour Vorigine de celles-ci. 



Cet énoncé subsiste pour une surface déterminée ou par la variable indépendante 

 S ou par la fonction /(t). 



18. D'aprés la formule (4), la différentielle d'un produit UV de deux fonctions 

 quaternales U et V se trouve de cette inaniére: 



(6) d{[iv) = du.r+ udv, 



formule connue qui sera d'iin usage fréquent dans la suite. 



Une complexe quaternale 'C, comme produit des elements coordonnés IT =- p et 

 Versor i^ — e''" = v, ou cT — pv, est différentiée d'aprés (4) de cette maniére: 



(7) dS = i>d^ + Qdv. 



En désignant par J^- la différentielle totale par rapport ä f, et par c/,, et dv les 

 différentielles partielles par rapport aux elements coordonnés ^ et ", on obtient d'aprés (4) 



(8) djio = d.fio + d^m, 



formule qui ä la maniére ordinaire exprime la connexion entré la différentielle totale 

 et les différentielles partielles. 



') On entend ici, en general, par surface une figure déterminée par quatre coordonnées indépendan- 

 tes, c'est-ä-dire, une surface å quatre dimensions. Si une des qnatre coordonnées est supposée nulle, on obtient 

 la surface actiielle ou celle ä irois dimensions. On peut en dire autant du point, de la ligne et de la figure 

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