IG DILLNER, INTÉGRALES DÉFINIES DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE COMPLEXE. 



DériTée d'iine fonction qnaternalc mono^ene. 



19. La dérivée cVune fonction /(f) est définie comme le quotieiit') de la diflferen- 

 tielle de la fonction divisée par celle de la variable indépendante, et on la représente, 

 å Taide de (5), par la notation, 



[//C=0] 



la notion d'une dérivée totale ou partielle étant donnée par celle d'une différentielle 

 totale ou partielle. 



Conforniément ä la definition d'une fonction monogéne, donnée par Cauchy, une 

 fonction /(fc) d'une complexe quaternale t = Qe^"' = Qv est dite monogéne, si sa dérivée 

 totale est indépendante des différentielles dQ et dv des elements coordonnés Q et t'- 



Ainsi, en supposant les dérivées partielles /p et fv indépendantes des différen- 

 tielles respectives dQ et rff, si Ton met, suivant (9), la formule (8) sous la fonne 



(10) ckm=^f^{^dQ^f^it)dv, 



la condition que fiii) soit indépendante des différentielles dQ et dv s'exprirae, å Taide 

 de (7), par Tégalité, 



(11) f\^C)v-'=f.X^)9-\ 



formule qui s'appelle le critérium de monogénéité de la fonction /(.-). 



Par lä on obtient au moyen de (10) Texpression suivante pour la dérivée totale 

 de la fonction quaternale f{t): 



(12) f =f^ -f,i^>-' =/,,(0?-^ 



Donc, la dérivée totale d'une fonction quaternale monogéne /(t) est égale a la dérivée 

 partielle de la fonction piar rapport a p = Tt, multipliée par la valeur reciproque d? 

 v = Versor t, ou égale a la dérivée partielle de la fonction par rapport a v, multipliée par 

 la valeur reciproque de p. 



Remarque. La notion de monogénéité est chez les fonctions quaternales, ainsi que 

 chez les fonctions complexes ordinaires, d'une importance essentielle et constitue la 

 base nécessaire de la notion de dérivée. Hamilton a remarque que la notion de 

 dérivée n'est pas généralement applicable aux fonctions quaternales, remarque qui 

 est juste tant qu'elle concerne toutes les fonctions quaternales qui ne remplissent pas la 

 condition de monogénéité (U) ou qui sont dismonogénes. On doit aussi remarquer que 

 les fonctions simples comme f", aS log t etc. ne sont monogénes que dans la supposi- 

 tion que la variable indépendante .c et sa difféi-entielle di sont d'axes égaux ou se 

 meuvent dans un plan fixe, mais quelconque. 



') On se rappelle Tordre des facteurs dans nn qnotient qnatoinal, n savoiv qnR - =p.—. 



