KONGL. ÖV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. 18. NIO 6. 17 



II. Intégrales déflnies des fonetions quaternales. 



20. L'intégTale délinie d.'une fonctioii quaternale continue /(fe) est définie de la 

 maniére ordinaire comme la limite d'une somme, d'aprés la formule, 



(13) fjiOdS^lim V^f^OA., 



[m = oo] ?• = 1 



!-r_l 



ou la différentielle c?fe, comme ayant un tenseur arbitraire, est identifiée k h^ = C — ?r 

 qui i-eprésente des incréments infiniment petits de fe, pendant que fe va continuellement 

 du point feg = a au point fe„ = b. 



De la notion de Fintégrale définie comme une somme on déduira de la maniére 

 ordinaire toutes les lois des intégrales définies qui sont indépendantes de la loi com- 

 mutative d'un produit. Ainsi, les formules connues suivantes subsistent pour les fone- 

 tions quaternales, dans la supposition de leur continuité et de leur uniformité en 

 tous les points du chemin dlntégration : 



(14) 1° /; {fio + fM dL = f'm dt + /;/,(fe) dt, 



(15) 2° flömdt^cjJ(S)d-C, 

 ou c est une constante quaternale; 



(16) 3° fim d: =^ fj{t) dt ^ fj{^) dt, 



ou cc est un point du chemin d'intégration; 



(17) 4° fj(;)dt = -j:f{t)dt. 



21. Une question d'une importance essentielle pour des intégrales définies des 

 fonetions quaternales, comme pour celles des fonetions complexes ordinaires, se pose 

 ici, celle de savoir sous quelle condition une intégrale définie est indépendante du chemin 

 d'intégTation. Pour examiner cette question il faut établir les definitions suivantes. 



Une fonction quaternale /(fe) est, d'aprés Cauchy, dite monodroine dans un point 

 a si /(fe) reprend sa valeur premiére apres que t a décrit un grand cercle d'axe ar- 

 bitraire sur la sphére infiniment petite de centre a. 



Une fonction quaternale qui est continue et monodrome en un point et, au de- 

 la, monogéne est, d'aprés Cauchy, dite synectique dans ce point. Une fonction quaternale 

 est dite synectique pour une ligne, pour une surface ou pour un espace liinité si elle est 

 synectique en chaque point de ces figures. 



Théoréme fondameutal de Cauchy sur le chemin dMntégration, étendu aux fonetions 



quaternales synectiques. 



22. Soit ^U la différence entré deux intéo-rales définies d'une méme fonction 



a 



quaternale synectique /, prises entré les mémes limites a et h, mais le long de divers 

 chemins décrits par les variables fe et z, ou 



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