18 DILLNER, INTEGRALES DEFINIES DES FONCTIONS D UNE VARIABLE COMPLEXE. 



(18) zlU = fjXOdL-fj(z)dz. 



Snpposons, de plus, que la difFérence ,c — z entré un point sur le chemin .- et un 

 point sur le chemin z soit exprimée en une fonction contiiuie et unifovme, niais arbitraire, 

 (fiz), de cette maniére, 



(19) ^ — z = (fi{z) /lu, 



oii zlu désigne une scalaire positive, indépendante de £ et z, dont la limite est nulle; 

 alors, on obtient 



(20) (i: — dz = d(p{z) Ju, 



et, piiisque les deux intégrales dans (18) ont les méines limites, 



(21) <p{a) = cp{h) = Q. 



Posons 



(22) /(^) -/("-) = M, 



d'ou Ton tire, ä cause de la monogénéité de la fonction f{z), 



(23) lim M = f{z). 



[.Ju = 0] 



A laide des formules (14), (19), (20) et (22), la formule (18) pourra s^écrire, 



(24) i^ - il [My^iz) dz + m dcf{z)], 

 ou, ä Taide de (23), en faisant évanouir ziu, 



(2-5) T. = Il i/Å^) <P(^) dz + f{z) d<p{z)] ; 



mais Texpression sous le signe d'intégration dans cette formule est, d'aprés (6), une 

 difterentielle exacte, des que Ton a 



(26) (p(z) dz = dz (p{z), 



c'est-a-dire, des que la fonction arbitraire (f(z) et la diffcrentielle dz sont d'axes égaux ou, 

 en d'autres termes, des que le chemin t, infinirnent vcisin du chemin z, est situé dans le 

 jjlan qui touche d'une maniere continue le chemin z [cfr n" 17]. 



Donc, å Taide de (6) et sous la condition (26), la formule (25) peut s'écrire de 

 cette maniere, 



(27) S = />{/(^)y(^)}. 

 Mais, le théoréme connu, que, F{z) étant la fonction primitive de la fonction yp{z) 

 ou F'{z) = i/'(2), on a F{b) — F{a) = f^ if'{z) dz, s'appliquera, comme il est aisé de le mon- 

 trer, aux fonctions quaternales. Donc, on tire de (27), ä Taide de (21), le resultat. 



