ICONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAK. BAND. 18. N:o 6. 19 



(28) ^ = A/(^) (/.(.)} = O 



ou, en intégrant, 



(29) U = 0. 



Ainsi, si Ton imagine une surface, bornée par un contour fermé P, d'une telle 

 forme que dans tous ses points la fonction f{z) soit synectique, et que le chemin z soit 

 tracé sur cette surface entré les points extremes a et b sur le contour P, le chemin in- 

 finiment voisin fc entré les mémes points extremes a et 6 devant étre situé, d'aprés la 

 condition (26), sur la méme surface; alors, la formule (29) signifie que, pour un déplace- 

 ment continu du chemin k d'une position initiale z jusqu'au contour P, Tintégrale définie 



jaÅ^) c^i' aura une valeur invariable. Donc, le tliéoréme fondamental de Cauchy s'énonce 

 sous cette forme généralisée: 



L'intégrale définie d'une fonction quaternale f{z), prise entré deux points a et h sur 

 un contour P qui horne une surface en tous p)oints de laquelle /(t) est synectique, est 

 indépendante du chemin que l'on suit sur cette surface en intégrant de a a h. 



La théorie des fonctions cjuaternales étant encore trop peu développée, on ne 

 pourra rien conclure sur Textension de la condition de monogénéité (23) ou, en general, 

 si cette condition s'étend au déhors du cas ou la variable indépendante et sa différen- 

 tielle sont d'axes égaux. Ici, le théoréme fondamental de Cauchy dit seulenient que, la 

 condition de monogénéité d'une fonction étant remplie, Tintégrale de cette fonction sera 

 indépendante du chemin dlntégration, soit que la variable indépendante se meuve sur 

 un plan ou, en general, sur une surface. 



23. De ce théoréme fondamental on tire, comnie pour les complexes ordinaires, 

 les deux conséquences suivantes: 



1° nintégrale définie cVune fonction quaternale f{t), prise le long d'un contour fermé 

 P qui borne une surface en tous points de laquelle f{£) est synectique, est nulle. 



2° Uintégrale définie cVune fonction quaternale /(t), 2^'>''^'Se entré deux points a et h 

 d'un espace borné en tous p)oints duquel /(fe) est synectique, est indépendante du chemin 

 que Von suit dans cet espace en intégrant de a a b. 



La vérité de cet énoncé s'apercoit, si Ton imagine que Tespace limité est 

 engendré par une surface limité par un contour fermé P, en tous les points de la 

 quelle la fonction f{S) est synectique. 



Intégrale de lacet d'uue fonction quaternale. 



24. Un lacet Ä se définit ici, suivant n° 1, comme étant composé d'une ligne 

 t:^cc et d'un grand cercle ciAci d'axe arbitraire, situé sur une sphére inhniment petite, 

 qui renferme un point critique a comme son centra. 



Llntégrale d'une fonction quaternale U'{£), prise en sens positif de ^ ä tg lelong 

 d'un lacet Ä, en tous points duquel U{S) est synectique, est dite intégrale de lacet, et 



