20 DILLNER, INTÉGRALES DÉFINIES DES FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE. 



se déterminera d'aprés le n° 1 comine la sonime d'une integrale linéaire et d'une inté- 

 grale circulaire conformément aux significations adoptées en cet endroit. Supposons 

 une sui-face limitée par un contour feriné dDd ou D, sur laquelle sont situés les lacets 

 Al, . . . A„ qui renfennent les points critiques n^ . . . n„ de la fonction quaternale F(V) et 

 qui vont d'un point commun to lié au contour D par la ligne tad; alors, on déduira 

 a la maniére ordinaire le théoréme suivant: 



Si F{t) est une fonction quaternale, qui est synectique en tous points d'une surface, 

 limitée par un contoiir ferrné dDd ou D, excepté aux points a^ . . . a,„ Vintégrale de 

 F{C), prise dans le sens positif sur la surface le long de la voie t^ d D d'C^, sera égale a la 

 somme des intégrales, prises du point 'C^ le long des lacets A^, . . . A„ qui entourent les points 

 critiques a^, . . . a„. 



Ce théoréme s'exprime par la formule suivante, 



d r = n Ar 



(30) JFii) dt + f,^ {F{L) - F,{0} d'C = ^ jFiO d: 



oii Fi,{t) est la valeur de F{t) apres que fc a décrit, une fois en sens positif, le contour 

 fermé dDd. 



Intégrrale circulaire d'uiie fonction quaternale. 



25. Soit /(.c) une fonction quaternale qui est synectique en tous points d'un 

 lacet A et de la sphére infiniment petite qui entoure le point a. comme centre et dont le 

 grand cercle d'axe arbitraire est désigné @; alors, en faisant décrire ä t ce grand cercle 

 et en observant que Taxe i comme normal au plan du grand cercle (a) est d'une direc- 

 tion arbitraire, nous posons [cfr (1)]: 



'C — a = Qe"", d'ou dt = {t — a) i do). 



Par suite, on obtient 



ou s, k cause de la continuité de la fonction /(c) au point a, s'évanouit aA^ec le rayon 



p du grand cercle @; de méme, ^i s'évanouit aussi comme étant égale a Jtido). 

 Donc, on obtient pour lim (> = O, en imagiuant que t décrit des cercles @ de rayons 

 de plus å plus petits, 



(31) S®^Jt=2nf{a)i. 



En différentiant cette formule par rapport ä a que Ton suppose indépendant de 

 t, on obtient la formule suivante, les différentielles da et dt étant d'aa:es égaux a laxe 

 i du grand cercle (a), 



f^.dt=2nfia)i. 



