KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND 18. N:U 6. 21 



En répétant cette clUforentiation dans la ménie .supposition, ou obtient la formule 

 générale, 



(32) ^/(JzSm d-C = 2nf{a) i 



comme exprimant la n"™" dérivée d'une fonction quaternale synectique sous la forme 

 d'une intégrale circulaire. 



Si la fonction quaternale F{t), donnée dans la formule (30), est monodrome 

 autour d'un point critique a, Tintégrale de lacet correspondante sera égale å Fintégrale 

 circulaire ou 



(33) !md^^-fmd'c, 



formule qui s'emploiera en connexion avec le théoréme exprimé dans la formule (32). 



Intégrale liiiéaire d'une fonction quaternale. 



26. D'aprés la notion, donnée au n" 24, dune intégrale linéaire de la fonction 

 quaternale U{l) on obtient: 



(34) lm)d£==fl{U(0~UAO}d£, 



oix f7i(t) est la valeur de la fonction U{£) apres que ^ a décrit le cercle @ qui est le 

 grand cercle d'axe arbitraire sur la sphére iniiniment petite ayant le point critique a comme 

 centre. D'ici on tire pour U(£) = U^i^), c'est-ä-dire pour le cas que f7(f) est mono- 

 drome autour du point a, 



(35) /f7(.c:) dt = 0. 



Conformément k la formule n° 2 (6), si Ton pose ,c — rt = pe"", oii f est le rayon du 

 cercle infiniment petit @ d'axe arbitraire i et par suite d£ — (t — a) i dco, on obtient 



(36) /l?g(.c — a)f/c: =0. 



Soient X et X, des fonctions quaternales de la variable .c, synectiques pour tous 

 points d'un lacet Ä et de sa sphére infiniment petite au centre a; soit de plus / une 

 scalaire constante; alors, a Taide de (36) et suivant n° 3, on obtient la formule 



/{log (t — ay + X, } X dt - /{log (t — a)' ^X,]X dL 



Nous posons £/(t) = {log (? — aj + X^] X et, comme ci-devant, 'C. — ^e"' pour f 

 décrivant le cercle infiniment petit @ cl'axe arbitraire i] alors, en s'appuyant sur la 

 definition de la fonction logarithmique, donnée par Hamilton, on obtient 



?7(fe) = {/[logp + z«] + Z,}Z, 



t/i(0 - {/ [log Q + i(w + 27r)] + X,} X. 



