22 DILLNER, INTÉGRALES DÉfINIES DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE COMPLEXE. 



Donc, ä Taide de (34) il s'ensuit 



(37) f{iog(^-ay + X,]XdS = -2mflxd':, 



ou Ton a remplacé la limite supérieure « par la valeur infiniment voisine a, ce qui est 

 pennis puisque la fonction X, d'aprés la supposition faite, est synectique pour 'C = a. 



27. La fonnule (30) et les formules des n' 25 — 26 contiennent les principes les 

 plus essentiels pour le développement des inéthodes d'intégration des fonctions qua- 

 ternales synectiques dans la supposition que la monogénéité de celles-ci s'étende sur des 

 chemins dintégration situés sur un plan ou sur une surface en general. Pour le cas ou 

 les voies dintégration sant sltuées dans un plan jixe dont la normale i fait avec des 

 axes rectangulaires donnés k^, k^, k^ des angles quelconques «, /?, /, cest-a-dire ou i 

 dans la formule £ = ^e"" =^ ^{Cos co + i Sin co) a pour valeur i — ^\ Cos a + k^ Cos (i+k^ Cos y, 

 et dans la supjposition que toutes les quantités qui entrent dans le calcid soient d'axes 

 égaux, les méthodes d'i?itégration développées dans les formides {lo) — {45) [Premiére partie] 

 s'ap>pliqueront immédiatement aux fonctions quaternales synectiques. 



Serie de Taylor éteudne aux fonctious quaternales synectiques. 



28. Soient U ei V des fonctions monogénes de t, et posons f{t) = UV et, d'aprés 

 n" 18, t^^t'; alors, a Taide de (6), on obtient, en prenant les dérivées partielies par 

 rapport ä ^ et *', les resultats suivants: 



donc, le critcriuni de monogénéité (11) ou 



/;(o*'-^=/.„(o?-^ 



sera rempli si la fonction V et la variable indépendante t sont d'axes égaux. Cette 

 recherclie étendue ä un produit de plusieurs facteurs denne naissance au théoréme 



suivant: 



Un produit de deux ou plusieurs fonctions quaternales monogénes est lui-méme mo- 

 nogene si tous les facteurs apres le premier sont d'axes égaux a Vaxe de la variable indé- 

 piendante. 



29. Supposons la fonction quaternale /(c + .c) synectique en tous points d'une 

 sphére S dont le centre est c et le rayon ?•; supposons, de plus, une complexe qua- 

 ternale a partant du point c comme origine et déteriuinant un point dans Tintérieur 

 de la sphére, et faisons passer un plan par le centre c, qui forme avec la surface de 

 la sphére un grand cercle P dont Taxe i est paralléle a Taxe de a. Pour ,^ décrivant 

 un contour fermé dans le plan du grand cercle P, qui ne s'extend pas au dehors de 

 P, la fonction 



