KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAK. BAND. 18. N:0 6. 23 



est, claprés le n° précédent, monogéne, puisque Taxe du facteur (,C — a)"^ est paralléle 

 a Taxe de L Ainsi, en s'appuyant sur les formules (32), (35) et (33), on obtiendra 



(38) JkOd'C^JmdC=2nf{e + a)i. 

 Depuis, puisque axe de a || axe de S, on aura 



^=i{i.f.....(f)%(fr.^^} 



et par suite, k Taide de (32) et (33), si axe de t/fc |1 axe de a: 



(39) fm dC = fm dt = 2n {/(c) + f(c) a + f"(c) | + . . . +/få ^^i^B 

 ou le reste i? a la forme 



(40) R=ff(c + 0(Tf"-rzr^-dL 



c 



Mais, pour L décri^.art le grand cercle P, on a T.c = r, et par suite, d'aprés la sup- 

 position faite, lim T(~) =0; donc, on aura 



(41) lim R ^ 0. 



[« = oo] 



En réunissant les formules (38), (39) et (41), on obtiendra la serie de Taylor, 

 étendue aux fonctions quaternales s_ynectiques, sous la forme ordinaire, 



(42) f(c + a) = f(c) +/'(c) a + f"(c) | + • • • + f(c) f ' 



identité dont tous les terraes sont finis et bien déterminés. 



Donc, ou aura le théoréme suivant: 



Si la fonction quaternale f{c + 'C) est synectique en tous points d'une sphere S de 

 centre c, la fonction f{c + a), pour chaque point c ^ a au dedans de la sphere S, sera dé- 

 veloppable en une serie convergente suivant la formide de Taylor {42). 



La sphére S s'appelle la spMre de convergence de la serie de Taylor. 



En remplacjant 1° c par O et 2° c + a par z, on déduit de la formule (42) les 

 formes de la serie de Taylor que Ton appelle les series de Mac-Laurin. 



