KONGL. SV. VET. AKADEMIENS HANDLINGAR. BAND. ÅZ. N:o Il. i 
Die Bemerkung, dass die Länge des durchlaufenen Bogens sich sehr leicht mittelst 
u ausdräcken lässt, dirfte schliesslich nicht ohne Interesse sein. Man hat nämlich, 
indem der Bogen durch s bezeichnet wird, 
ds = V de? + dy” 
= dn (KK vu) Väder (K= du 
= — pr [dn (K — u)f du 
Die Länge des Bogens ist demnach durch ein elliptisches Integral zweiter Gattung 
ausgedrickt, wobei das Argument ein elliptisches Integral erster Gattung mit einer, der 
Zeit proportionalen Grösse als obere Gränze ist. 
$ 4. 
Die Entwicklung des Integrales zweiter Gattung ist mehrfach gegeben worden; 
jedoch däörfte die folgende Methode, die vielleicht neu ist, ihrer Kirze wegen hier einen 
Platz verdienen. Vorausgeschickt soll dabei em Theorem werden, das zwar nicht un- 
bekannt ist, in den gewöhnlichen Lehrbächern aber vermisst wird, oder wenigstens 
nicht in der Form vorkommt, wie es hier gebraucht wird. 
Es sel nun 
und q die in der Theorie der elliptisehen Functionen bekannte Grösse, so ist 
amg a (= Va [LR OT = 
(1 — gt FRAN 
z+3 in = 
statt z, so hat man iberall gt statt f zu SR die obige Formel giebt also 
26am (a + ix') RNE SE JA LE fr) —=4 NA ET q't') le oll 
= (fo (il mc ) IG ER ft) a TR NG qe) | 
Nach einer bekannten Formel findet man hieraus 
e 
Schreibt man 
e 
26am [25 a + ik”) 
e = — kil sn 
2K, e) 
WO 
1— VIP 
1+V1—F 
und K, das zur Modul £, gehörende vollständige Integral erster Gattung bedeutet. Es 
för, = 
: A ; é 4 2i am (=: + ig') 
ergiebt sich aus diesem Theoreme, dass die Entwicklung von e z ; nach den 
Vielfachen von « eine reine Cosinusreihe ist. 
Nach diesen Vorbereitungen stellen wir die Entwicklung 
FRE 
2i am 
0 = fly st Bh? 25 än de 
a a (Rn rn 0 AN 
