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die „formule aux limites" der Variationsrechnung, dass die Linie in 

 sich zurückläuft, d, h. den Satz von Poincaré, dass der Körper mindestens 

 eine geschlossene geodätische Linie enthält. 



6. M. PlancHEEEL (Fribourg). — Sur la méthode d'intégration 

 de Raijleigh-Rüz. 



Le procédé de Rayleigh-Ritz (Rayleigh: Phil. Mag. (5) 47 (1899), 

 p. 566-72 et (6) 22 (1911), p. 225—229; Ritz: Gott. Nachr. (1908), 

 p. 236—48. J. reine angew. Math. 135 (1908) p. 1 — 61. Ann. d. 

 Phys. (4) 28 (1909), p. 737—86. Oeuvres, p. 192—316) pour l'inté- 

 gration des équations linéaires aux dérivées partielles du type elliptique 

 qui résultent d'un problème du calcul des variations — prenons, pour 

 fixer les idées, l'équation des plaques vibrantes A Au — Xu = o — exprime 

 la solution u = v-\-w au moyen d'une fonction connue v et d'une série 



w = %^ Xi q)i procédant suivant un système de fonctions données 



(fi (système que nous supposerons orthogonal, fermé et norme, ce qui ne 

 restreint pas la généralité) et calcule les coefficients xi comme solutions, 

 au sens de la méthode des réduites, d'un système 



k 



d'une infinité d'équations linéaires à une infinité d'inconnues. La méthode 

 de Ritz ne démontre la légitimité du procédé que dans le cas ou A < o, 



lorsque la forme ^^ a,fc Xi X]^ est définie positive. En supposant connues 



l'existence et les propriétés des fonctions fondamentales de AAu — Aw=o, 

 il est cependant possible de prouver que le procédé de Ritz est appli- 

 cable pour toute valeur de X qui n'est pas une valeur fondamentale 

 et qu'il permet de calculer valeurs et fonctions fondamentales par la 

 résolution, au sens de la méthode des réduites, du système homogène 

 correspondant à (1). La démonstration se base sur l'étude de la forme 



quadratique (non bornée) ^ ^ aijc Xi xj^. et sur le fait que cette forme 



possède une résolvante unique qui elle est une forme K {ju; x) bornée 

 sauf pour les valeurs de ju qui sont les inverses des valeurs fonda- 

 mentales. Ainsi se trouve justifiée l'application qji'a faite Ritz de son 

 procédé au calcul des vibrations transversales d'une plaque élastique 

 à bords libres (figures de Chladni). 



7. R. FuETER (Zürich). — Einige Sätze der Idealtheorie und deren 

 Beweismethoden. 



Der Betrachtung werde ein beliebiger Ga/oisscher Zahlkörper K 

 zugrunde gelegt. Hilbert hat die Zerlegung jeder einzelnen Primzahl in 

 Primideale in K studiert. Man kann diese Betrachtung vervollständigen, 

 indem man statt von einer Primzahl auszugehen die Gesamtheit der- 

 selben betrachtet. Da nämlich K stets relativ-zyklisch zum Zerlegungs- 

 körper der zur Diskriminante teilerfremden Primzahlen ist, kann die von 

 mir entwickelte Theorie Abelscher Gleichungen in einem Grundbereich 

 verwendet werden. Grundlegend sind folgende Resultate : Es sei k der 



